Auf welchen Vektor wird der Vektor 2u+v-3w durch α abgebildet?

Question

Aufgabe:

Von einer linearen Abbildung α des ℝ³ in sich ist bekannt:

α(u)=(1 2 2); α(v)=(2 0 -3) und α(w)=(1 1 0).

Auf welchen Vektor wird der Vektor 2u+v-3w durch α abgebildet?

Hinweis: Verwenden Sie direkt die Eigenschaft einer linearen Abbildung.

Ansatz:

Hallo, kann mir jemand weiterhelfen? Ich weiß nicht genau was ich machen soll. Ich hab die Regel für die lineare Abb. angewendet und (8 3 3) zweimal rausbekommen, aber das muss man glaub gar nicht machen, um auf die Lösung zu kommen. Ich weiß nicht was ich genau tun soll um rauszufinden welchen Vektor 2u+v-3w abbildet.

Answer 1

Wenn \(\alpha\) ein Endomorphismus ist (lineare Abbildung in sich selbst), dann nutze doch alle Homomorphie-Eigenschaften aus (namentlich die Homogenität und die Additivität):$$\alpha(2u+v-3w)=2\alpha(u)+\alpha(v)-3\alpha(w)=2\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2\\0\\-3 \end{pmatrix}-3\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$$ Also \(\alpha(2u+v-3w)=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\)