Linalg - F injektiv genau dann wenn 0-Vektor aus V auf Nullvektor aus W abgebildet wird. Wieso?

Question

Situation: 

Sei F: V→W linear

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, wieso man aus der Tatsache, dass nur der Nullvektor aus \(V\):  \(0_v\)
auf den Nullvektor aus \(W\) abgebldet wird, schliessen kann, dass die Abbildung /(F/) injektiv ist. 

Kann mir das jemand Erklären ? 

Verwirrung:
Könnte es nicht möglich sein, dass tatsächlich \(Ker(F) = \{0_v\} \) gilt aber zum beispiel mehrere Vektoren aus v auf ein einziges Element abgebildet werden ?

Comments

Tipp: Wenn F(v)=F(w) ist, dann ist auch F(v-w)=F(v)-F(w)=0.

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Okay, ich blicke nicht ganz durch: 

Was ich bereit weiss, ist Ker(F) = {0} 

Sei
F(v) = F(w)         | zwei verschiedene Vektoren, haben den gleichen Funktionswert.
F(v) - F(w) = 0    | Der Funktionswert zweier verschiedenen Vektoren subtrahiert ergibt 0.
F( v -  w )   = 0    | Sei z:=v-w
F(z)            = 0   

Muss dann z = 0 sein? 
Falls F(v) - F(w) = 0, was weiss ich dann über  v - w ?

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Wenn v und w zwei verschiedene Vektoren mit F(v)=F(w) sind, dann ist z=v-w≠0 und F(z)=0, d.h. es gibt einen nichttrivialen Kern.

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Also heisst das insgesamt, wenn der \(Kern(F) = \{0_v\} \)ist, 
dass alle anderen Elemente z aus V die Eigenschaft haben
\(z_1 = z_2 ⇒ f(z_1) = f(z_2)\) ?

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Diese Implikation gilt immer.

Answer 1

Gehe doch einfach klassisch vor:

f injektiv heißt:  f(u) = f(v) ==>   u=v.

v  ∈ Kern (f) heißt   f(v) = 0.

Und Injektiv ==> kern(f) = {0}

Angenommen du hast v aus Kern(f) .

==>   f(v) = 0  aber auch

     0 =      f(v+0) = (wegen Linearität) f(v) + f(0) = 0 + f(0)

Also jedenfalls auch f(0)=0 , somit   f(0) = f(v) .  Injektivität

liefert also  v=0 .

umgekehrt:    kern(f) = {0}  und seinen u,v aus V mit f(u)=f(v)

==>                      f(v) - f(u )  = 0    und wieder Linearität

             ==>    f(v-u)  =   0 ==>   v-u ∈ Kern(f)

und weil der nur die 0 enthält folgt v-u=0  also   v=u , also f Injektiv.

Comments

Top, so habe ich es perfekt verstanden  und nachvollziehen können ! :-) 

Vielen Dank !

1. Injektivität von f impliziert Kern(f) = 0 
Beweis...
qed.

2. Kern(f) = 0 impliziert Injektivität von f.
Beweis....
qed.

Deswegen gilt: Injektivität von f ⇔ Kern(f) = 0.

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Exakt so ist es.