Aloha :)
\(f:V\to W\) ist linear, d.h.:$$(1)\;\;f(a+b)=f(a)+f(b)\quad;\quad\forall a,b\in V$$$$(2)\;\;f(\lambda a)=\lambda f(a)\quad;\quad\forall a\in V\;,\;\forall \lambda\in K$$Bei jeder linearen Abbildung wird die \(0\) auf die \(0\) abgebildet, denn$$f(0)=f(0\cdot a)=0\cdot f(a)=0$$
Wir zeigen: \(f\) injektiv \(\Leftrightarrow\) Kern(f)=\(\{0\}\)
\("\Rightarrow"\) Wir setzen \(f\) als injektiv voraus und nehmen an, es gibt ein \(a\ne0\) mit \(f(a)=0\):$$\phantom{"\Rightarrow"}f(a)=0\,\land\,f(0)=0\quad\Rightarrow\quad f(a)=f(0)\quad\Rightarrow\quad a=0\;\;\text{Widerspruch}$$\(\phantom{"\Rightarrow"}\)Der Kern besteht also nur aus der \(0\).
\("\Leftarrow"\) Nun nehmen wir an, Kern\((f)=\{0\}\), d.h. nur die \(0\in V\) bildet auf die \(0\in W\) ab.
\(\phantom{"\Leftarrow"}\)Seien \(a,b\in V\) mit \(f(a)=f(b)\), dann gilt wegen der Linearität:$$\phantom{"\Leftarrow"}f(a)=f(b)\;\;\Rightarrow\;\;0=f(a)-f(b)=f(a-b)\;\;\Rightarrow\;\;a-b\in\text{Kern}(f)$$$$\phantom{"\Leftarrow"}\Rightarrow\;\;a-b=0\;\;\Rightarrow\;\;a=b$$\(\phantom{"\Leftarrow"}\)Weil der Kern ausschließlich die \(0\) enthält, ist \(f\) also injektiv.
Bei jeder linearen Abbildung liegt die \(0\) im Kern. Bei einer injektiven linearen Abbildung \(f\) ist die \(0\) das einzige Element im Kern, daher bildet nur die \(0\) auf \(f(0)=0\) ab und die Umkehrung \(f^{-1}(0)=0\) ist eindeutig.
