Mir wurde gegeben eine Ebene E durch die Punkte A(1 | –1 | 2), B(2 | 1 | 8) und C(–1 | –2 | 2).
Meine Aufgaben lauten:
a) Geben Sie die Parameterform dieser Ebene an.
Das habe ich schon berennet: E: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\–1\\2 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} 1\\2\\6 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} –2\\–1\\0 \end{pmatrix} \)
b) Wandeln Sie diese Parameterform in eine Koordinatengleichung um, indem Sie die Parameter eliminieren!
Das habe ich auch schon raus:
E: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\–1\\2 \end{pmatrix} \) + r * \( \begin{pmatrix} 1\\2\\6 \end{pmatrix} \) + s * \( \begin{pmatrix} –2\\–1\\0 \end{pmatrix} \) ⇔
x1 = 1 + r – 2s (I)
x2 = –1 + 2r – s (II) (I)*2 – (II) : 2x1 – x2 = 3 – 3s
x3 = 2 + 6r (III) (II)*3 – (III) : 3x2 – x3 = –5 – 3s
⇒ (2x₁ – x₂) – (3x₂ – x₃) = (3 – 3s) – (–5 – 3s)
⇔ 2x₁ – x₂ – 3x₂ + x₃ = 3 – 3s + 5 + 3s
⇔ 2x₁ – 4x₂ + x₃ = 8
Probe: (Pünkte A, B und C in die Koordinatengleichung eingeben)
A: 2 • 1 – 4 • (–1) + 2 = 8 ✓
B: 2 • 2 – 4 • 1 + 8 = 8 ✓
C: 2 • ( –1) – 4 • (–2) + 2 = 8 ✓
c) Überprüfen Sie, ob der Punkt D(3,3,7) in der Ebene E liegt!
D(3,3,7) in E: 2x₁– 4x₂ + x₃ = 8 eingeben:
2 • 3 – 4 • 3 + 7 = 8 ⇔ 6 – 12 = 8 ⇔ – 6 ≠ 8
Widerspruch! D(3,3,7) Liegt nicht in der Ebene.
d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen und zeichnen Sie das die Lage der Ebene veranschaulichende Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem.
2x₁– 4x₂ + x₃ = 8
2x₁= 8 ⇔ x₁ = 4
–4x₂ = 8 ⇔ x₂ = –2
x₃ = 8
Die Schnittpunkte der Koordinatenachsen bei x₁ = 4, x₂ = –2 und x₃ = 8. Ist das richtig? Könnte mir jemand mit dem Zeichnen helfen?
e) Bestimmen Sie den Neigungswinkel φ der Ebene E gegen die x₁/x₂-Ebene!
Ebene E: 2x₁ – 4x₂ + x₃ = 8
x₁/x₂-Ebene : 2x₁ – 4x₂ = 8
Hier brauche ich Hilfe! Wie finde ich den Neigungswinkel?
f) Bestimmen Sie die Schnittpunkte S der Ebene E mit der Geraden g, durch die Punkte P(2,1,2) und Q(1,0,1) verläuft!
Hier bin ich stecken geblieben.. Könnte mir jemand den Rechenweg erklären?
g) Welchen Winkel φ schleißen g und E ein?
h) Welchen Abstand hat der Punkt Z1(–4, 1, –1) von E?
i) Welchen Abstand hat Z2(2,3,–4) von g?
Könnte mir jemand mit den letzten paar antworten helfen??
Ich freue mich schon auf alle Antworten! Vielen Dank im Voraus!!
