Der Boden hat die Ecken \(A(10|0|0)\), \(B(10|8|0)\), \(C(0|8|0)\) und \(D(0|0|0)\).
Das Dach hat die Ecken \(F(10|0|7)\), \(G(10|8|4)\), \(H(0|8|4)\) und \(I(0|0|7)\).
a) Normalenvektor \(\vec n\) von \(E\) bestimmen, zum Beispiel mit dem Kreuzprodukt
\(\vec n = \vec{FG}\times\vec {FI}\).
Normalenform aufstellen
\(\left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_2\end{pmatrix} - \vec{OF}\right)*\vec{n} = 0\).
Skalarprodukt ausrechnen.
b) Den gleichen Winkel wie zwischen Normalenvektor und \(z\)-Achse. Für den Winkel zwischen zwei Vektoren findest du eine Formel in deinen Unterlagen.
c) Parameterdarstellung der Geraden aufstellen, in der der Schornstein liegt. In die Koordinatenform von \(E\) einsetzen. Gleichung nach dem Parameter auflösen. Wert des Parameters in die Parameterdarstellung der Geraden einsetzen. Damit hast du den Punkt \(S\), an dem der Schornstein durch das Dach geht. Der Schornstein muss die Höhe
\(\left|\vec{PS}\right|+1\)
haben.
d) Schornsteinspitze \(Z\) bestimmen. Schnittpunkt \(S_2\) der Geraden
\(s: \vec{x} = \vec{OZ} + r\cdot \vec v\)
und der Ebene \(E\) bestimmen (siehe c)). Die Länge des Schattens ist \(\left|\vec{SS_2}\right|\) falls \(S_2\) nicht außerhalb der Dachfläche liegt.
e) Verwende die Hessesche Normalenform.
