Die Abstände zur Ebene berechnen

Question

Die Aufgabe lautet bestimmen sie die Abstände der Punkte von der Ebene E.

Gegeben ist E:x= (3/4/-1)1r(-4/1/0)+s(2/3/3)

Wenn ich nun das Kreuzprodukt von (-4/1/0)+ (2/3/3) anwende bekomme ich 3x1+12x2-12x3=-5

auf den Lösungen steht aber 3x1+12x2-12x3=71 nun wie kommt man auf die 71? Es ist ja -4*2+1*3+0*3=-5?

Answer 1

Wieso nimmst du das Skalarprodukt der beiden Spannvektoren?

Aus dem Kreuzprodukt hast du den Normalenvektor erhalten, und die Ebenengleichung einer Ebene mit eben diesem Normalenvektor lautet damit

3x₁+12x₂-12x₃=d

Das richtige d findest du, wenn du berücksichtigst, dass der Punkt (3/4/-1) in dieser Ebene liegt und somit diese Ebenengleichung erfüllen muss:

3*3+12*4-12*(-1)=d

Damit erhalte ich übrigens auch nicht d=71, sondern d=69.

PS: Dein Kreuzprodukt ist falsch. Der letzte Wert ist nicht -12, sondern -14,

3*3+12*4-14*(-1) ist tatsächlich 71.

Answer 2

Hallo Anna,

Gegeben ist E:x= (3/4/-1)1r(-4/1/0)+s(2/3/3)
...  3x1+12x2-12x3=-5
... Lösungen steht aber 3x1+12x2-12x3=71

[-4, 1, 0] x [2, 3, 3] = [3, 12, -14] = \(\vec{n}\)           

[3, 12, -14] · [3,4,-1] = 71

→    3x₁ + 12x₂ - 14x₃ = 71

Gruß Wolfgang