Spiegelung auf einer Ebene und Linearität

Question

Zeigen Sie, dass im \( \mathbb{R}^{3} \) die Spiegelung an einer Ebene \( \varepsilon \) durch den Ursprung 0 im \( \mathbb{R}^{3} \) mit Einheitsnormalvektor \( \mathbf{n} \) in der Form
\( S: \mathbf{x} \mapsto S(x)=A \mathbf{x} \quad \text { mit } \quad A=\mathbb{1}-2 \mathbf{n n}^{T} \)
beschrieben werden kann (wobei \( \mathbb{1} \) die \( 3 \times 3 \)-Einheitsmatrix bezeichnet)!

Zeigen Sie, dass sowohl \( \mathbf{n} \) als auch jedes \( \mathbf{u} \in \varepsilon \) durch \( S \) an der Ebene \( \varepsilon \) gespiegelt werden und nutzen Sie danach die Linearität von \( S \) aus, um zu schließen, dass das für jedes \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{3} \) zutrifft!

Answer 1

Ausgehend von einer orthogonalen Projektion eines Punktes P auf einer Ebene E erhält man den Spiegelpunkt P’ im gleichen Abstand in Richtung des Normalenvektors n der Ebene.

P---|---P'

E:= n x = 0, |n|=1
P ∈ E
P':= P - 2 (P n ) n

Dazu siehe dyadisches Produkt

https://www.geogebra.org/m/NXx4E8cb#material/udvrepsx

\(P‘:=\left(id-\vec{n} \vec{n }^{T}\right)P\)