Wie kann ich Vektoren in eine Matrix umschreiben?

Question

hallo,

ich bin verwirrt, wie ich Vektoren in eine Matrix umformen soll.

Ich habe jetzt zwei Probleme.

1)

im oberen Fall wird die Vektoren in den Spalten im Matrix umgeschrieben.

Aber wenn ich die Vektoren in die Zeile umforme, ist es falsch und kommt das falsche Ergebnis heraus?

2)

Prüfe, \( \mathrm{ob}(1,2,4),(4,5,6),(7,8,9) \) im \( \mathrm{R}- \) Vektorraum \( \mathrm{R}^{3} \) linear unabhängig sind

\( \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \)

Aber bei dieser Frage wird die Vektoren in die Zeile umgeschrieben.

Wenn ich dagegen die Vektoren in den Spalte umforme, ist es falsch und kommt das falsche Ergebnis heraus?

Warum ist es unterschiedlich und woher kann ich wissen, ob ich die Vektoren in eine Zeile oder in einen Spalt stehen lasse?

Ich hoffe auf Ihre Antwort und vielen Dank im Voraus

Answer 1

Es ist egal ob man die Vektoren Zeilen oder Spaltenweise in die Matrix einträgt.

[1, 1, 3]
[1, 2, 1] II - I
[1, 3, 0] III - I

[1, 1, 3]
[0, 1, -2]
[0, 2, -3] III - 2*II

[1, 1, 3]
[0, 1, -2]
[0, 0, 1] → Linear unabhängig

oder auch

[1, 1, 1]
[1, 2, 3] II - I
[3, 1, 0] III - 3*I

[1, 1, 1]
[0, 1, 2]
[0, -2, -3] III + 2*II

[1, 1, 1]
[0, 1, 2]
[0, 0, 1] --> Linear unabhängig

Es gilt auch das der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist. In diesem Fall ist der Rang 3.

Ich habe in beiden Fällen einfache Zeilenumformungen gemacht.

Comments

Vielen Dank!

Es war hilfreich

Answer 2

Aloha :)

Wenn du die Vektoren als Spalten in eine Matrix einträgst, solltest du elementare Spaltenumformungen zur Vereinfachung anwenden. Wenn du die Vektoren als Zeilen in eine Matrix einträgst, solltest du elementare Zeilenumformungen zur Vereinfachung verwenden.

Deine Beispiele mit Spaltenvektoren:

$$\left(\begin{array}{r}& -S_1 & - 3S_1\\\hline1 & 1 & 3\\1 & 2 & 1\\1 & 3 & 0\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&  & +2S_2\\\hline1 & 0 & 0\\1 & 1 & -2\\1 & 2 & -3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&  & \\\hline1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\1 & 2 & 1\end{array}\right)$$Die 3 Spaltenvektoren sind linear unabhängig.

$$\left(\begin{array}{r}& -4S_1 & - 7S_1\\\hline1 & 4 & 7\\2 & 5 & 8\\4 & 6 & 9\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&  & +2S_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -3 & -6\\4 & -10 & -19\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r}&  & \\\hline1 & 0 & 0\\2 & -3 & 0\\4 & -10 & 1\end{array}\right)$$Die 3 Spaltenvektoren sind linear unabhängig.

Comments

also ist es egal, ob ich zur Prüfung von linearer Abhängigkeit die Vektoren als Spalte oder als Zeilen in eine Matrix eintrage?

Wenn ich dann die Vektoren als Spalten in eine Matrix eintrage und elementare Zeilenumformungen zur Vereinfachung verwende, ist es immer noch richtig oder falsch?

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Wenn du sie als Spaltenvektoren einträgst, solltest du Spaltenoperation verwenden. Wenn du sie als Zeilenvektoren einträgst, musst du Zeilenoperationen verwenden. Das ist geradlinig und klar.

Streng genommen ist es egal, du kannst also auch mischen. Das heißt, du kannst die Vektoren als Spalten eintragen und dann als Zeilen bearbeiten, oder umgekehrt. Das ist aber nicht direkt offensichtlich, sondern folgt aus dem Satz, dass der Zeilenrang einer Matrix gleich ihrem Spaltenrang ist.