Zeige, dass ⟨x, y⟩A = xtAy auf dem Rn Linearität und Additivität in beiden Komponenten erfüllt.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass ⟨x, y⟩A = x^tAy auf dem Rn Linearität und Additivität in beiden Komponenten
erfüllt.

Problem/Ansatz:

Linearität habe ich bereits gezeigt aber bei der Additivität komme ich nicht weiter

da <x,y+a> = x^tA(y+a) aber wie kann ich hier weiter umformen

bzw. <x+a,y> = (x+a)^t Ay

Comments

Was bedeutet denn "linear" und was "additiv"?

---

additiv bedeutet <v,w+a> = a+ <v,w> bzw. <v+a,w> = a+ <v,w> und linear ist das entrpechende nur anstatt mit einem Vektor zu addieren, multipliziert man mit einem Sklave.

Bei linear ist es einfach zu zeigen da man bei der Multiplikation ja quasi einfach

Aus <x,y*a> = x^T Ay*a = a* x^T Ay

Mir ist eben aufgefallen dass oben ein kleiner Fehler ist, das A*y steht nicht im Exponent sondern wird mit x^T (x transponiert) multipliziert

---

Ich hatte nachgefragt, weil das eine eher ungewöhnliche Sprachregelung ist.

Für Deine Frage: Das Matrix-Vektor-Produkt, allgemein das Matrix-Matrix-Produkt ist eine additive Abbildung:

$$A \cdot (x+y)=Ax+Ay$$

Gruß Mathhilf