Sei \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) das Standard-Skalarprodukt auf \( \mathbb{R}^{n} \). Eine Matrix \( A \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) heißt winkeltreu, falls \( \omega(v, w)=\omega(A v, A w) \) für alle \( v, w \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \) ist. Zeigen Sie:
a) Ist \( A \) winkeltreu, so gibt es \( \lambda>0 \), sodass \( A^{\top} A=\lambda E_{n} \).
b) Orthogonale Matrizen sind winkeltreu.
c) Eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) ist genau dann winkeltreu, wenn eine orthogonale Matrix \( R \) und ein \( \mu \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) existiert mit \( A=\mu R \).
