Bestimmen Sie alle Elemente des Faktorrings \mathbb{F}_{3}[X] /\langle f\rangle .

Question

Sei \( f=X^{2}+X+2 \in \mathbb{F}_{3}[X] \) ein Polynom über \( \mathbb{F}_{3} \).

Bestimmen Sie alle Elemente des Faktorrings \( \mathbb{F}_{3}[X] /\langle f\rangle \).
Bestimmen Sie die Additionstabelle und die Multiplikationstabelle von \( \left(\mathbb{F}_{3}[X] /\langle f\rangle, \oplus, \odot\right) \).

Answer 1

In dem Faktorring sind ja die Klassen der Reste bei Division durch f.

Das sind ja wohl wegen F3 nur 9 Stück. Also Additionstabelle

 ⊕            0        1         2         x      x+1       x+2       2x      2x+1      2x+2
-------------------------------------------------------------------------------------------------
0              0        1        2        x         x+1      x+2       2x     2x+1      2x+2
1              1        2        0        x+1      x+2      x         2x+1      2x+2      2x
2              2        0        1        x+2       x         x+1     2x+2      2x     2x+1
x             x       x+1     x+2     2x      2x+1     2x+2      0          1          2

etc.  Und bei ⊗ entsprechend

⊕            0        1        2        x     x+1      x+2      2x     2x+1      2x+2
-------------------------------------------------------------------------------------------------
0              0        0       0         0       0          0         0          0           0
1              0        1        2        x     x+1      x+2      2x     2x+1      2x+2
2              0        2        1       2x   2x+2      2x+1    x       x+2         x+1
x             0        x       2x    2x+1    1        x+1     x+2     2x+2        2

etc.