Zeigen Sie, dass es ein Skalarprodukt \langle·, ·\rangle auf V gibt, so dass alle Elemente von G Isometrien sind.

Question

Text erkannt:

Seien \( V \) ein endlichdimensionaler \( \mathbb{R} \)-Vektorraum und \( G \subseteq \mathrm{GL}(V):=\{f: V \rightarrow V \mid f \) ist linear und bijekt eine endliche Untergruppe. Zeigen Sie, dass es ein Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) auf \( V \) gibt, so dass alle Elemente von \( G \) Isometrien sind.

Text erkannt:

Seien \( V \) ein endlichdimensionaler \( \mathbb{R} \)-Vektorraum und \( G \subseteq \mathrm{GL}(V):=\{f: V \rightarrow V \mid f \) ist linear und bijekt eine endliche Untergruppe. Zeigen Sie, dass es ein Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) auf \( V \) gibt, so dass alle Elemente von \( G \) Isometrien sind.

Aufgabe:

Comments

Hast Du denn eine Idee, wie man ein Skalar-Produkt definieren könnte, so dass damit ein festes f eine Isometrie wäre?

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Also da G endlich sein soll, dachte ich mir, dass G vielleicht eine zyklische Untergruppe von GL(V) ist. Es muss ja gelten <v,w>=<f(v), f(w)>. Vielleicht könnte man irgendein Skalarprodukt, bei dem Spur oder die Determinante eine Rolle spielt, nehmen? Ich stehe auf dem Schlauch :(…

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Dein Aufgabentext ist ja etwas verstümmelt. Ich habe es so verstanden, dass G entlich ist, also \(G=\{f_1, \ldots,f_n\}\) und dann:

$$\langle v,w\rangle:=\sum_{i=1}^n\langle f_iv,f_iw\rangle$$

Musst Du aber noch prüfen.

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(Links muss das Skalarprodukt irgendwie einen Index erhalten.)