Warum sind folgende Aussagen falsch?

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum der endlichen Dimension n ≥ 2 über einem Körper
K, und seien B = {b1, . . . , bn} und C = {c1, . . . , cn} Basen von V . Sei
f eine lineare Abbildung von V nach V , und sei A := <C^*, f(B)>
jene Matrix, welche f bezüglich der Basen B,C darstellt.
(A) Wenn A nicht die Einheitsmatrix ist, dann existiert ein v ∈
V mit f(v) ≠ v.
(B) Wenn A eine Diagonalmatrix ist, dann existiert ein i und ein
c ∈ K sodaß f(b_i) = c · b_i.
(C) A ist regulär genau dann, wenn f(bi) ≠ 0 für alle i gilt.

Problem/Ansatz:

Laut Lösungen sind alle Aussagen falsch, ich kann aber nur B vollständig nachvollziehen.

Meine Gedanken zu A und C waren:

A ist richtig weil nur die Einheitsmatrix die Identitätsabbildung darstellt.

C ist richtig weil bei Injektivität Kern = {0} gilt.

Answer 1

Zu (C):

Wenn \(A\) regulär ist, dann gilt \(f(b_i)\neq 0\).

Wenn aber \(f(b_i)\neq 0\) ist, muss \(A\) nicht notwendig

regulär sein; denn wenn z.B. \(f(b_1)=f(b_2)\neq 0\) ist,

dann liegt \(b_2-b_1\) im Kern.