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Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum der endlichen Dimension n ≥ 2 über einem Körper
K, und seien B = {b1, . . . , bn} und C = {c1, . . . , cn} Basen von V . Sei
f eine lineare Abbildung von V nach V , und sei A := <C*, f(B)>
jene Matrix, welche f bezüglich der Basen B,C darstellt.
(A) Wenn A nicht die Einheitsmatrix ist, dann existiert ein v ∈
V mit f(v) ≠ v.
(B) Wenn A eine Diagonalmatrix ist, dann existiert ein i und ein
c ∈ K sodaß f(bi) = c · bi.
(C) A ist regulär genau dann, wenn f(bi) ≠ 0 für alle i gilt.


Problem/Ansatz:

Laut Lösungen sind alle Aussagen falsch, ich kann aber nur B vollständig nachvollziehen.

Meine Gedanken zu A und C waren:

A ist richtig weil nur die Einheitsmatrix die Identitätsabbildung darstellt.

C ist richtig weil bei Injektivität Kern = {0} gilt.

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Zu (C):

Wenn AA regulär ist, dann gilt f(bi)0f(b_i)\neq 0.

Wenn aber f(bi)0f(b_i)\neq 0 ist, muss AA nicht notwendig

regulär sein; denn wenn z.B. f(b1)=f(b2)0f(b_1)=f(b_2)\neq 0 ist,

dann liegt b2b1b_2-b_1 im Kern.

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