Hallo :-)
Deine Rechnungen sehen gut aus, bis auf einen kleinen (aber unerheblichen Tippfehler). Deine Ergebnismatrix muss lauten:
\( \begin{pmatrix} -2c & 2a+2b-2d \\ -2c & 2c\end{pmatrix} \).
Damit betrachtest du nun
\( \begin{pmatrix} -2c & 2a+2b-2d \\ -2c & 2c\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \)
Wie du richtig erkannt hast, folgt \(c=0\) und \(d=a+b\), wobei \(a,b\in \R\) freie Variablen sind. Das setze ich mal in \(A\) ein:
\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\0&a+b\end{pmatrix}=a\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\).
Die beiden Matrizen \(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\) sind linear unabhängig. Das kann man dadurch untersuchen, indem du mal beide Matrizen ,,auseinander" rollst und folgende Gleichheit betrachtest:
$$ t\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$
Matrix-Vektor-Schreibweise:
$$ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t\\s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} $$
oder als erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{cc|c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\1&1&0\end{array}\right) $$
und daraus erkennst, dass \(s=t=0\) folgt, sodass beide Matrizen linear unabhängig sind.