Sei f : R 3 → R 4 gegeben durch f (x,y,z) = (2y+3z, 3x+y, 4x-2z, 12x+2y+3z)

Question

Aufgabe:

Sei f : R³ → R⁴ gegeben durch f(x,y,z) =

                                                ( 2y + 3z

                                                   3x + y

                                                 4x − 2z
                                            12x + 2y − 3z)
(a) Zeigen Sie, dass f eine lineare Abbildung ist.
(b) Bestimmen Sie eine Matrix A so, dass f((x,y,z))= A * (x,y,z) für alle (x,y,z) ∈ R³ ist.
(c) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von ker f und im f.

Answer 1

Die Matrix ist 

0      2      3       
3      1       0 
4      0       -2
12     2      -3

Stufenform gibt  z.B.

12       2        -3
0        2          3
0         0         0
0         0         0

also mit z beliebig hast du

  y = -3z/2

und     x =  z/2

Elemente aus dem Kern sind also alle ( z/2  ;  -3z/2   ;  z )

           = z * ( 1/2 ; -3/2   ;   1 )

Basis also  ( 1/2 ; -3/2   ;   1 )

Kern hat dim = 1 , also     dim Im (f)  = 3.

Also bilden die Spalten der Matrix eine Basis von Im(f).