Question

gesucht ist eine Ebene durch (2, -1, 4), die senkrecht auf der Schnittgeraden von 4x+2y+2z=-1 und 3x+6y+3z=7 steht.

Gleichungssystem:
(I) 4x+2y+2z=-1
(II) 3x+6y+3z=7 | -3(I)
(II) -9x-3z=4

Variable einsetzen:
x=λ
-9λ-3z=4 | +9λ
-3z=4+9λ | :(-3)
z=-(4/3)+3λ

x, y, z in die erste Gleichung einsetzen:
4λ+2y+2(-(4/3)+3λ)=1
4λ+2y-(8/3)+6λ=1
y=-5λ+(11/6)

$$ g(\lambda )\quad =\quad (\begin{matrix} 0 \\ \frac { 11 }{ 6 }  \\ -\frac { 4 }{ 3 }  \end{matrix})+\lambda (\begin{matrix} 1 \\ -5 \\ 3 \end{matrix}) $$

Wie rechnet man weiter und stimmt die Schnittgerade? Danke.

Answer 1

Annahme, deine Rechnung stimmt.

Nun Ansatz: E :  1*x  - 5 * y + 3*z = d

Punkt P(2|4|-1) einsetzen und d ausrechnen.

fertig. 

Beachte: Den Richtungsvektor erhältst du auch als Vektorprodukt der Normalenvektoren der beiden Ebenen.

Zumindest die Richtung. Du hättest somit die Gleichung der Schnittgeraden gar nicht unbedingt ganz ausrechnen müssen. 

Comments

1*2-5*4+3*(-1)=-21 ist die Ebene oder wie soll man das verstehen?

Müssen die Ebenen nicht in eine andere Form gebracht werden, damit man die Normalenvektoren ablesen kann?

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d = 1*2-5*4+3*(-1)=-21

Also 

E: 1*x  - 5 * y + 3*z = -21

ist die gesuchte Gleichung. (wenn du richtig gerechnet hast). 

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  Siehe meine Antwprt; bin ich niocht überzeugt von.


    x  -  5  y  +  3  z  =  (  -  21 )     ( 2.1 )


    P  :=  (  2  |  -  1  |  4  )     (  2.2  )


   Ich brauch gar net weiter rechnen; ich bekäme 3 positive Beiträge. Hier wie soll das jemals ( - 21 ) geben? " Minus 21 " ; ist das, wenn man negativ vlolljährig ist? Wenn ich selbst entscheiden darf, ob ich geboren werden will odernicht?

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  Und noch ein Kommentar zu TR . Die Idee mit dem Kreuzprodukt war sogar meine erste. Ich wollte es dann doch lieber anders machen, weil das ist ja Mega umständlich. Kreuzprodukt lohnt sich nur dann, wenn du den genauen flächeninhalt von Figuren anstrebst.

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Ich hatte, wie gesagt, nichts nachgerechnet und hätte auch die Schnittgerade nicht ausgerechnet. 

Nochmals zur Probe, für den Fall, dass die Schnittgerade stimmt:

d = 1*2-5*4+3*(-1)= 2 -20 - 3 = -21

Also 

E: 1*x  - 5 * y + 3*z = -21

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Hier noch die Berechnung mit Vektorprodukt

(2 , 1, 1) x (1,2,1) = ( 1-2, -(2-1), 4-1) = (-1, -1, 3) 

Nun Ansatz: E :  -1*x  - 1 * y + 3*z = d

Punkt P(2|4|-1) einsetzen und d ausrechnen.

-2 - 4 - 3 = d = -9

Also E: -x - y + 3z = - 9           

oder mit weniger Minus

E: x+y -3z = 9. 

Answer 2

  Betrachten wir eine Schar paralleler Ebenen

   E1  (  x  ;  y  ;  z  )  :=  4  x  +  2  y  +  2  z  =  c1  =  const      (  1a  )

            grad  (  E1  )  =  [  ( dE1/dx ) | ( dE1/dy ) | ( dE1/dz ) ]  =  (  4  |  2  |  2  )  =        (  1b  )

                                   =  (  2  |  1  |  1  )       (  1c  )

        Einen Gradientenvektor dürfen wir umnormieren wie in ( 1c ) ; das wisst ihr.

      Analog finden wir

          grad  (  E2  )  =  (  1  |  2  |  1  )       (  2  )   

 

    Der Gradient steht immer senkrecht auf seiner Niveaulinien-bzw. Ebenenschar; er bezeichnet die Richtung des steilsten Anstiegs. Ach übrigens; in Fachkreisen heißt die " Schnittgerade " Knotenlinie der beiden Ebenen E1;2 Z.B. die Knotenlinie von Erd-und Mondbahn verbindet die beiden Punkte, in welchen alleine Finsternisse auftreten können.

  Ein Richtungsvektor, der so wohl in E1 als auch in E2 liegt, muss daher auf beiden Gradienten ( 1c;2 ) senkrecht stehen; löse das homogene LGS

       2  x  +       y  +  z  =  0  |  :  x       (  3a  )

           x  +  2  y  +  z  =  0  |  :  x       (  3b  )

      Y  :=  y / x  ;  Z  :=  z / x     (  3c  )

       Die Nummerierung " ab " behalte ich bei, damit ihr euch zu Recht findet. Beachte In ( 3a-c ) meinen Spezial Divisionsalgoritmus; 2 X 2 LGS gelten als beherrschbar.

            Y  +  Z  =  (  -  2  )        (  4a  )

       2  Y  +  Z  =  (  -  1  )         (  4b  )

   Wie löst man ( 4ab ) auf die Schnelle? In ( 4a ) steht, was die kombinierte Variable " Y + Z " ist; wenn wir das in ( 4b ) einfüttern, muss Y = 1 sein. Dann aber folgt mit ( 4a ) Z = ( - 3 ) Der Richtungsvektor der gesuchten Geraden ist

     t  =  grad  (  E0  )  =  (  1  |  1  |  -  3  )     (  5a  )

    Wir suchen eine zu ( 5a ) senkrechte Ebene E0 . Dann müssen wir aber lediglich den Prozess ( 1b ) umkehren;  ( 5a ) ist der Gradient von E0; und die Koeffizienten von E0 erhältst du, indem du ( 5a ) abschreibst:

    E0  =  x  +  y  -  3  z  =  c3  =  const    (  5b  )

    die Integrationskonstante c3 durch Einsetzen des Punktes P:

     P  =  (  2  |  -  1  |  4  )      (  6a  )

    c3  =  2  -  1  3  *  4  =  (  -  11  )    (  6b  )

    x  +  y  -  3  z  =  (  -  11  )       (  6c  )