Berechnung der Schnittgeraden zweier Ebenen: E1: 4x+4y+2z =7; E2: 6x + 6z = 0.

Question

Gegeben ist die Ebene

E_1: 4x+4y+2z =7

E_2: 6x + 6z = 0

a)Berechnen Sie die Schnittgerade dieser beiden Ebenen?

b) In welchem Winkel schneiden sich die beiden Ebenen?

 

Answer 1

a) Berechnen Sie die Schnittgerade dieser beiden Ebenen?

Die Schnittgerade verläuft senkrecht zu beiden Normalenvektoren

[4, 4, 2] ⨯ [6, 0, 6] = [24, -12, -24] = 12·[2, -1, 2]

Jetzt braucht man nur noch einen Punkt, der in beiden Ebenen liegt. Der ist aber mit [0, 1.75, 0] offensichtlich. Man setzte nur in die erste Ebene für x und z 0 ein und löse es nach y auf. 

Damit lautet die Schnittgerade

g: X = [0, 1.75, 0] + r·[2, -1, 2]

 

b) In welchem Winkel schneiden sich die beiden Ebenen?

α = ARCCOS([4, 4, 2]·[6, 0, 6] / (ABS([4, 4, 2])·ABS([6, 0, 6]))) = 45 Grad.

Comments

entschuldigen Sie die dumme frage, aber wofür steht ABS?  -_-

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Für den Betrag. Also
ABS([a, b, c]) = √(a^2 + b^2 + c^2)

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ich fass noch mal zusammen und bitte um Korrektur falls falsches vorgehen besteht.

a)

Eine Schnittgerade verläuft Senkrecht zu beiden Normalenvektoren.

=> wir berechnen die Gerade die Senkrecht zu den beiden Ebenen ist, indem ich das Kreuzprodukt benutze.

Daraufhin benötigen wir einen Punkt der in beiden Ebenen vorhanden ist.
Wir wählen für x und z 0 , da wenn wir es in e2 einsetzen 0 = 0 ergibt und somit  heißt das, dass dieser punkt vorhanden ist. und in e1 finden wir für y=7/4 raus

somit ergibt unsere schnittgerade g: X=[0, 1.75, 0] + r·[2, -1, 2]

b) setzen wir einfach in die formel ein, und benutzen die umkehr funktion von cos

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Ja. Das wäre soweit ich weiß der einfachste und schnellste Weg.

Ggf. muss anders verfahren werden, wenn das Kreuzprodukt noch nicht bekannt ist.