Aufgabe:
Sei x=a+bi+cj+dk∈ℍ, mit a,b,c,d∈ℝ.
Beweise:
x ist eine Wurzel aus X^2+1 ⇔ xX̅=1 und X̅=-x ⇔ a=0 und b^2+c^2+d^2=1
und komme zu dem Schluss, dass X2+1 unendlich viele Wurzeln in ℍ hat.
Problem/Ansatz:
bekanntlich gilt x⋅y‾‾‾‾‾=y‾‾⋅x‾‾.
--> Mit x2=−1 gilt dann auch (x‾‾)2=x2‾‾‾=−1‾‾‾=−1.
Daraus kann man auf x2−x‾‾2=0 schließen.
Wegen xx‾‾=x‾‾x ist dann
(x+x‾‾)(x−x‾‾)=x2−x‾‾2=0.
Da wir in einem Schiefkörper sind, folgt x‾‾=x∨x‾‾=−x.
So weit bin ich bis jetzt gekommen, jedoch weiss ich nicht mehr weiter...
