Sei K ein Körper beweise folgenden Term

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \left(\forall a, b \in K:(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}\right) \Longleftrightarrow 1+1=0 \)
\( \left(\forall a, b \in K \cdot(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}\right) \Leftrightarrow 1+1=0 \)
\( \Rightarrow \quad(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+\left(1_{k}+1_{k}\right) \cdot a \cdot b \)
- da \( (1 k+1 k) \cdot a \cdot b=0 \), wanne \( a=b-1 \), dann \( 1+1=0 \)
". \( = \) " \( \operatorname{Set} 1+1=0 \) git: \( (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+(\underbrace{1_{k}+1_{k}}_{0_{k}}) \cdot a \cdot b=a^{2}+b^{2} \)

Problem/Ansatz:

Mitschrift der Vorlesung und ich hab nicht ganz verstanden warum man ((a+b)^2 = a+2ab+b^2 ist sondern man (1k + 1k)×a×b hat anstatt 2ab. Und warum ist 1k+1k= 0k.

Answer 1

sondern man (1k + 1k)×a×b hat anstatt 2ab.

Man ist an einer Aussage über \(1+1\) interessiert. Deshalb verzichtet man darauf, die \(1+1\) zu \(2\) auszurechnen. Außerdem gibt es in dem Körper vielleicht überhaupt keine 2.

Aber in jedem Körper gibt es eine 1. Deshalb kann man

        \((a+b)^2\)

mit dem Distributivgesetz ausmultiplizieren zu

        \(a^2 + ab + ba + b^2\),

dann mit dem Kommutativgesetz umformen zu

\(a^2 + ab + ab + b^2\)

und die Neutralität der 1 anwenden indem man zu

\(a^2 + 1ab + 1ab + b^2\)

umformt. Jetzt kann man die 1 ausklammern und erhält

        \(a^2 + (1+1)ab + b^2\).

Und warum ist 1k+1k= 0k.

Wie eben beschrieben ist

        \((a+b)^2 = a^2 + (1+1)ab + b^2\).

Wenn auch noch

  \((a+b)^2 = a^2 + b^2\)

ist, dann kann man gleichsetzen und erhät die Gleichung

        \(a^2 + (1+1)ab + b^2 = a^2 + b^2\).

Weil dies für alle \(a,b\) aus dem Körper gilt, gilt dies insbesondere für \(a\neq 0\) und \(b\neq 0\). Damit kann man die die letzte Gleichung umformen zu

        \(1+1 = 0\).