K ein Körper. Beweise Ring K[t] ist ein Integritätsbereich

Question

Sei K ein Körper. Beweisen Sie, dass

1. Der Ring K[t] mit den üblichen Verknüpfungen ein Integritätsbereich ist.

2. f element von K[t] ist invertierbar <=> f ist eine Konstante.

Comments

Kann ich bei 1, sagen, dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist, denn das leite ich von der Theorie so her?!?

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Genau das sollst du ja zeigen.

Übrigens ist die zweite Aussage falsch.

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Meinst du von der Aufgabe? Wieso denn?

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Versuch mal, das Nullpolynom zu invertieren.

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ja wenn ich doch f(t) = 0 nicht invertieren kann, dann kann ich doch alle anderen Konstanten nicht invertieren

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Wieso nicht?

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ja wie kann ich den y= 1 invertieren? hat ja nur eine Variable? 

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Du musst ein Polynom \(g(t)\) finden, sodass \(g(t)\cdot 1=1\).
\(g(t)\) ist dann das inverse Polynom zu \(f(t)=1\).

Was meinst du mit "nur eine Variabe"?

Answer 1

1. Ring ist wohl klar, also nur zu zeigen

nullteilerfrei , kommutativ und mit 1-Element.

Einselement ist konst. Polynom mit Wert 1    p=1

kommutativ liegt letztlich an der Kommutativität des Körpers

nullteilerfrei:

seien p und q Polynome mit p*q = 0

wenn sie den Grad n bzw. k haben, dann hat das Produkt den Grad n+k

kann also nicht das Nullpolynom sein.

2.  wenn f konstant ist , also f=c mit c ungleich 0 ,

dann besitzt c ein inverses in K und  g = c^-1 ist das zu f inverse Polynom.

wenn f invertierbar ist, gibt es ein Polynom g mit f*g = 1

wäre f nicht konstant, sondern vom Grad n > 0,  dann hätte f*g den Grad n + grad(g) > 0

im Widerspruch zu grad (1 ) =0

Comments

im Widerspruch zu grad (1 ) =0 

Verstehe nicht, von wo du das deg(1)=0 nimmst.

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1 ist das konstante Polynom vom Wert 1 und das hat grad 0.

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Ich sehe aber immer noch nicht wieso es ein Widerspruch gibt im zweiten Teil. 

Das Nullpolynom ist in der Beweisführung doch gar nicht enthalten?!?

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Ich habe jetzt gezeigt, dass ein Körper immer ein Integritätsbereich ist, wie kann ich aber Zeigen das K Körper auch ein Ring ist?

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Die Axiome für einen Ring sind doch eine Untermenge der

Axiome für einen Ring.

Also ist jeder Körper auch ein Ring.

Ein wesentlicher Unterschied liegt in den multiplikativen

Inversen. In einem Körper kann man (außer durch 0)

immer dividieren. Im Ring nicht (unbedingt).

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Eine Anmerkung: Die Aussage

"wenn sie den Grad n bzw. k haben, dann hat das Produkt den Grad n+k

kann also nicht das Nullpolynom sein."

 muss noch begründet werden.