Alle hier betrachteten Matrizen seien 2x2-Matrizen.
1. Der Ring \(A\) ist bekannterweise nicht kommutativ, der Ring \(B\)
hingegen ist kommutativ, da er komponentenweise kommutativ ist.
Also sind die Ringe nicht isomorph.
2. Es sei \(E_{ij}\) die Matrix, die an der Stelle \((i,j)\) eine 1 hat und sonst lauter
Nullen. Sei \(P=E_{12}+E_{21}\). \(P\) ist eine Permutationsmatrix:
\(M\mapsto PM\) vertauscht die Zeilen von \(M\),
\(M \mapsto MP\) vertauscht die Spalten von \(M\).
Sei nun \(I\neq(0)\) ein Ideal in \(A\). Dann gibt es in diesem Ideal
eine Matrix, die nicht die Nullmatrix ist. Durch etwaige Zeilen- und / oder
Spaltenvertauschungen mithilfe von \(P\) kann man sehen, dass
es in \(I\) eine Matrix \(M=(m_{ij})\) gibt mit \(a:=m_{11}\neq 0\). Man erhält so
\(E_{11}=a^{-1}E_{11}ME_{11}\in I\), folglich auch \(E_{12}=E_{11}P\in I\),
\(E_{21}=PE_{11}\in I\) und \(E_{22}=PE_{12}\in I\).
Da \(I\) offenbar auch ein \(K\)-Untervektorraum von \(A\) ist und wir
nun wissen, dass die \(K\)-Basis \(\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}\) in \(I\) liegt,
ist \(I=A\).
