Ringe: Sei R ein Ring, sodass a³+a=0, ∀a∈R. Zeigen Sie, dass a²=a, ∀a∈R.

Question

ich bin langsam echt am verzweifeln. Ich sitze seit Stunden vor einer Aufgabe und bekomme die nicht hin. Wie forme ich die gegebene Gleichung zur gesuchten um?

Sei R ein Ring, sodass a³+a=0, ∀a∈R. Zeigen Sie, dass a²=a, ∀a∈R.

 

Ich habe schon soooo viel rumprobiert, aber ich komme zu keiner Lösung.

Ich hoffe, dass das jemand kann?!

Comments

Wenn wir den Restklassenring modulo 5 haben.

Dann gilt z.B. 2^3 + 2 = 10 = 0

Allerdings gilt ja nicht 2^2 = 2.

Also irgendwie habe ich da gerade eine Denkblockade oder ich habe die Frage falsch verstanden.

Answer 1

@Mathecoach:

Es hat in der Voraussetzung ein 'für alle'

und im Restklassenring modulo 5 

ist z.B.   1^3 + 1 = 2 ≠ 0

Deshalb muss nicht allgemein a^2 = a gelten.

 

Mit Umformen kam ich leider auch nirgends hin.

a³+a=0 sieht ja eher so aus als wäre a^2 = - 1  für alle a.      (ohne jetzt das mit Ringaxiomen beweisen zu wollen!)

Vielleicht klappt ein Widerspruchsbeweis. Mit Annahme: Es gibt in R ein b mit  b^2 ≠ b .