Ringe, isomorph, ideale, Repräsentantensystem

Question

Aufgabe:

Sei K[T] ein Körper und \( f \in K[T] \) von Grad \( m \ge 0 \).

Definiere die Ringe \( R_1= \mathbb Z/4 \), \( R_2= \mathbb F_2 [T] / (T^2+T) \) und \( R_3= \mathbb F_2[T]/(T^2+T+1) \). \( R_3 \) ist ein Körper.

a) Zeigen Sie, dass die Menge \( \{g \in K[T] \vert Grad g \lt m \} \) ein Repräsentantensystem des Faktorrings von \( K[T]/(f) \) ist.

Zeigen Sie, dass die 3 Ringe je 4 Elemente haben.

b) Bestimmen Sie die Multiplikationstabellen der Ringe \( R_1 \) und \( R_2 \).

c) Zeigen Sie, dass von den Ringen \( R_1,R_2,R_3 \) keine zwei isomorph sind.

d) Bestimmen Sie alle Ideale der Ringe \( R_1,R_2,R_3 \).

zu b) die Multiplikationstabelle zu R1 habe ich.

zu c) ich weiß, wie man zeigt, dass Ringe zueinander isomorph sind, allerdings weiß ich nicht so genau, wie ich das widerlegen soll

Ansonsten bin ich sehr dankbar für Tipps :)

Answer 1

zu c) ich weiß, wie man zeigt, dass Ringe zueinander isomorph sind, allerdings weiß ich nicht so genau, wie ich das widerlegen soll

Die additive Gruppe von \(R_1\) ist zyklisch von der Ordnung 4.
Die additiven Gruppen von \(R_2\) und \(R_3\) besitzen nur Elemente
der Ordnung \(\leq 2\).
Daher ist weder \(R_1\cong R_2\) noch \(R_1 \cong R_3\).
\(R_3\) besitzt keine Nullteiler, da \(T^2+T+1\) unzerlegbar ist.
\(R_2\) besitzt hingegen Nullteiler; denn
\([T]\cdot [T+1]=[T(T+1)]=[T^2+T]=[0]\).
Daher sind \(T_2\) und \(T_3\) nicht isomorph.

Comments

Vielen Dank! Hättest du auch eine Idee, wie ich zeige, dass die 3 Ringe je 4 Elemente haben? und Wie viele Ideale sie besitzen?

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\(R_1=\{[0],[1],[2],[3]\}\),

\(R_2=\{[0], [T], [1], [1+T]\}\),

\(R_3\) wie \(R_2\) nur mit anderer Multiplikation.

Ideale folgen später ...

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Also ich hab jetzt ein bisschen recherchiert:

Für R1:betrachten wir die Ideale von Z, die durch 4 teilbar sind, also hat R1 die Ideale {(0),(2)}

Stimmt das so? und Wie macht man das bei R2 und R3?