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Aufgabe:

Sei K[T] ein Körper und fK[T] f \in K[T] von Grad m0 m \ge 0 .

Definiere die Ringe R1=Z/4 R_1= \mathbb Z/4 , R2=F2[T]/(T2+T) R_2= \mathbb F_2 [T] / (T^2+T) und R3=F2[T]/(T2+T+1) R_3= \mathbb F_2[T]/(T^2+T+1) . R3 R_3  ist ein Körper.

a) Zeigen Sie, dass die Menge {gK[T]Gradg<m} \{g \in K[T] \vert Grad g \lt m \}  ein Repräsentantensystem des Faktorrings von K[T]/(f) K[T]/(f) ist.

Zeigen Sie, dass die 3 Ringe je 4 Elemente haben.

b) Bestimmen Sie die Multiplikationstabellen der Ringe R1 R_1  und R2 R_2 .

c) Zeigen Sie, dass von den Ringen R1,R2,R3 R_1,R_2,R_3  keine zwei isomorph sind.

d) Bestimmen Sie alle Ideale der Ringe R1,R2,R3 R_1,R_2,R_3 .


zu b) die Multiplikationstabelle zu R1 habe ich.

zu c) ich weiß, wie man zeigt, dass Ringe zueinander isomorph sind, allerdings weiß ich nicht so genau, wie ich das widerlegen soll

Ansonsten bin ich sehr dankbar für Tipps :)

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zu c) ich weiß, wie man zeigt, dass Ringe zueinander isomorph sind, allerdings weiß ich nicht so genau, wie ich das widerlegen soll

Die additive Gruppe von R1R_1 ist zyklisch von der Ordnung 4.
Die additiven Gruppen von R2R_2 und R3R_3 besitzen nur Elemente
der Ordnung 2\leq 2.
Daher ist weder R1R2R_1\cong R_2 noch R1R3R_1 \cong R_3.
R3R_3 besitzt keine Nullteiler, da T2+T+1T^2+T+1 unzerlegbar ist.
R2R_2 besitzt hingegen Nullteiler; denn
[T][T+1]=[T(T+1)]=[T2+T]=[0][T]\cdot [T+1]=[T(T+1)]=[T^2+T]=[0].
Daher sind T2T_2 und T3T_3 nicht isomorph.

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Vielen Dank! Hättest du auch eine Idee, wie ich zeige, dass die 3 Ringe je 4 Elemente haben? und Wie viele Ideale sie besitzen?

R1={[0],[1],[2],[3]}R_1=\{[0],[1],[2],[3]\},

R2={[0],[T],[1],[1+T]}R_2=\{[0], [T], [1], [1+T]\},

R3R_3 wie R2R_2 nur mit anderer Multiplikation.

Ideale folgen später ...

Also ich hab jetzt ein bisschen recherchiert:

Für R1:betrachten wir die Ideale von Z, die durch 4 teilbar sind, also hat R1 die Ideale {(0),(2)}

Stimmt das so? und Wie macht man das bei R2 und R3?

Ein anderes Problem?

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