Question

Bestimme die postiiven Zahlen a und b, so dass die Ungleichungen a||x||₁  ≤  ||x|| und ||x|| ≤ b||x||₁ erfüllt und scharf sind.
Hat Jemand eine Ahnung, wie man auf die zwei Zahlen a und b kommt?

Comments

Du musst uns schon verraten, was \(\|x\|\) ist !

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|| * || ist die euklidische norm, von daher denke ich, dass x ein Vektor ist.

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Schreibe bitte die Ungleichungen nochmals klar lesbar hin !

||x|| soll die euklidische Norm eines Vektors x bedeuten. Gut, und dann  ||x||₁ ?

Soll im übrigen x ein vorgegebener Vektor sein - oder soll da noch ein Allquantor stehen ("für alle Vektoren x eines gewissen Vektorraums (welchem?) gilt: ......)

Und was genau soll "scharf" bedeuten ?

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Ungleichung 1:
a||x||₁ ≤  ||x||

Ungleichung 2:
||x|| ≤ b||x||₁

Meines Wissens nach bedeutet "scharf", dass es mind. ein x gibt für das jeweils die Gleichheit gilt, man also ≤ nicht durch < ersetzen darf.

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\(\|x\|_1\) ist wohl die 1-Norm:

\(\sum_{i=1}^n |x_i|\) für einen Vektor \(x=(x_1,\cdots, x_n)\)

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Die Norm-Definitionen (die ich auch irgendwann gelernt habe) habe ich auch wieder gefunden:

https://de.wikipedia.org/wiki/P-Norm#Summennorm

Für konkrete Werte von a und b sollte man aber wohl noch wissen, in welchem Vektorraum das Ganze gelten soll (Dimension n).

Die Lösung zur gestellten Frage findet man wohl da:

https://de.wikipedia.org/wiki/P-Norm#Äquivalenz

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Allgemein ist die \(p\)-Norm definiert durch

\(\|x\|_p=(\sum_{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}\).

Für \(p=2\) ist dies die euklidische Norm,

für \(p\to \infty\) ist es die Maximumnorm (Sup-Norm)  \(\|x\|_{\infty}\)

Answer 1

Hallo

a,b hängen natürlich vom Vektor ab, schreib es erstmal in R^2

quadriere die Ungleichung und löse nach a bzw b auf.

wie es dann allgemein aussieht ist einfach.

Gruß  lul