Zeigen Sie, dass dann auch B invertierbar ist mit

Question

Aufgabe:

Sei die Matrixnorm ∥ · ∥ durch eine Vektornorm induziert, A, B ∈ R^n,n Matrizen und A
invertierbar. Ferner gelte:

∥A − B∥ < \( \frac{1}{∥A^-1∥} \)

Zeigen Sie, dass dann auch B invertierbar ist mit

∥B^-1∥ ≤ \( \frac{∥A^-1∥}{1-∥A^-1∥∥A−B∥} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, das ich B auch als B = A(I + A^-1(B − A)) schreiben kann,weiß jedoch nicht wie ich zeige das B invertierbar mit dieser Ungleichung ist.

Answer 1

Hier nutzt du folgenden Sachverhalt aus, den man üblicherweise gesondert beweist:

Wenn \(T \in \mathbb R^{n, n}\) und \(||T|| < 1\), dann ist \(I-T\) invertierbar und

\(||(I-T)^{-1}|| \leq \frac 1{1-||T||}\)

Das sieht man, indem man zeigt, das die geometrische Operatorenreihe

\(\sum_{n=0}^{\infty}T^n\) konvergiert und gleich \((I-T)^{-1}\) ist.

Das wenden wir jetzt auf deinen Fall an:

\(||A^{-1}(A-B)||\leq ||A^{-1}||\cdot ||A-B|| <1\)

\(\Rightarrow I - A^{-1}(A-B) = A^{-1}B\) ist invertierbar.

\(\Rightarrow A(I - A^{-1}(A-B)) = B\) ist invertierbar.

\(\Rightarrow B^{-1} = A^{-1}(I - A^{-1}(A-B))^{-1} \)

\(\Rightarrow ||B^{-1}|| \leq ||A^{-1}||\cdot ||(I - A^{-1}(A-B))^{-1}|| \leq ||A^{-1}||\frac 1{1-||A^{-1}(A-B)||} \leq ||A^{-1}||\frac 1{1-||A^{-1}||\cdot ||A-B||}\)