Matrizen: Zeigen, dass wenn A invertierbar ist, dann ist A transponiert auch invertierbar

Question

Aufgabe:

(Matrizen) Zeigen Sie: Wenn A invertierbar ist, ist A^T invertierbar und es gilt (A^-1)^T = (A^T)^-1.

Problem/Ansatz:

Den zweiten Teil der Aussage habe ich bewiesen. Dabei bin ich aber davon ausgegangen, dass (A^T) * (A^T)^-1 = E. In der Aussage klingt es aber so, als müsste ich erst einmal zeigen, dass dieses (A^T)^-1 überhaupt existiert (also dass A^T überhaupt invertierbar ist).

Wie kann ich das machen (ohne die Determinante)?
Ich habe schon etwas recherchiert und meist wird dies über die Determinante gezeigt. Die hatten wir aber nicht in der Vorlesung (bzw. das Wort ist noch nie gefallen und ich weiß ehrlich gesagt daher auch nicht ganz genau, was das ist) und deswegen gehe ich davon aus, dass wir das auf dem Übungsblatt auch anders zeigen sollen.

Danke für jede Anregung!

Answer 1

Aloha :)

Da \(A\) invertierbar ist, existiert \(A^{-1}\) mit \(A\cdot A^{-1}=E\), wobei \(E\) die Einheitsmatrix ist.$$E=E^T=(A\cdot A^{-1})^T=(A^{-1})^T\cdot A^T$$Offensichtlich ist \((A^{-1})^T\) die Inverse zu \(A^T\), also ist \(A^T\) invertierbar. Wegen der Eindeutigkeit des inversen Elements innerhalb einer Gruppe gilt weiter:$$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$$

Answer 2

Der Zeilenrang einer Matrix ist die Dimension des Zeilenraumes.

Der Spaltenrang einer Matrix ist die Dimension des Spaltenraumes.

Der Zeilenrang einer Matrix ist gleich dem Spaltenrang.  Diese Zahl wird dann Rang genannt.

Eine Matrix ist genau invertierbar, wenn sie maximalen Rang hat.

Durch Transponieren aendert sich aufgrund obiger Aussage ueber Zeilenrang und Spaltenrang der Rang nicht.

Eine Matrix ist als genau dann invertierbar, wenn ihre transponierte invertierbar ist.