Zeigen Sie, dass für ||A||_p 1 die Matrix (I − A] invertierbar ist mit

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für \(\|A\|_p<1\) die Matrix \(I_n-A\) invertierbar ist mit

\(\|(I_n-A)^{-1}\|_p\leq \frac{1}{1-\|A\|_p}\)

und zudem die Darstellung

\((I_n-A)^{-1} =\sum\limits_{i=0}^{\infty} A^i\)

besitzt.

(Hierbei gilt \(A^0 = I_n\)).
(Hinweis: Hilfreich ist es, die Folge der k-ten Partialsummen \(A^i\) zu betrachten.)

Problem/Ansatz:

Ich kommt leider bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter. Würde mir jemand vielleicht einen Ansatz schicken, an dem Ich anknüpfen könnte? Ich würde mich sehr freuen.

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst mal für die Matrix \(I_n-A\) die Gleichung \((I_n-A)\cdot x=0\) betrachten und daraus \(x=0\) folgern. Dazu nutze ich die gegebene Norm:

$$0=\|(I_n-A)\cdot x\|_p=\|I_n\cdot x-A\cdot x\|_p\geq \|I_n\cdot x\|_p-\|A\cdot x\|_p=\|x\|_p-\|A\cdot x\|_p\\\geq \|x\|_p-\|A\|_p\cdot \|x\|_p=(1-\|A\|_p)\cdot \|x\|_p$$.

Nach Voraussetzung gilt \(\|A\|_p<1\), sodass \(1-\|A\|_p\neq 0\) gilt und damit \(\|x\|_p=0\) bzw. \(x=0\) folgt.

Damit existiert \((I_n-A)^{-1}\).

Auf die Abschätzung \(\|(I_n-A)^{-1}\|_p\leq \frac{1}{1-\|A\|_p}\) kann man so kommen:

$$1=\|I_n\|_p=\|(I_n-A)^{-1}\cdot (I_n-A)\|_p=\|(I_n-A)^{-1}\cdot I_n-(I_n-A)^{-1}\cdot A\|_p\\=\|(I_n-A)^{-1}-(I_n-A)^{-1}\cdot A\|_p\geq \|(I_n-A)^{-1}\|_p-\|(I_n-A)^{-1}\cdot A\|_p\\\geq \|(I_n-A)^{-1}\|_p-\|(I_n-A)^{-1}\|_p\cdot \|A\|_p=(1-\|A\|_p)\cdot \|(I_n-A)^{-1}\|_p$$

Summenformel: Welche äquivalente Beziehungen kennst du für \(\|A\|_p<1\)?