Sei \(M := A + \lambda I_n\). Sei \(\mu\) ein Eigenwert von \(M\) und \(v\) ein zugehöriger Eigenvektor. Dann gilt$$Mv=\mu v\Leftrightarrow(A+\lambda I_n)v=\mu v\Leftrightarrow Av+\lambda v=\mu v\Leftrightarrow Av=(\mu-\lambda)v.$$Also ist \(\mu-\lambda\) ein Eigenwert von \(A\). Bekanntlich sind alle Eigenwerte von \(A\) gleich Null, da \(A\) nilpotent ist. Es folgt \(\mu=\lambda\). Wenn also \(\lambda\neq0\) ist, sind alle Eigenwerte von \(M\) von Null verschieden. Daher ist \(M\) invertierbar.