Sei K ein Körper und sei A ∈ K^(n mal n) eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad m

Question

Sei K ein Körper und sei A ∈ Kn×n eine nilpotente Matrix mit Nilpotenzgrad m

(i)Zeigen Sie, dass die Vektoren v, Av, A² v,...A^(m-1)v für jeden Vektor v ∈ K^n, welcher A^(m-1)v ungleich 0 erfüllt, linear unabhängig sind

(ii)Folgern Sie, dass m ≤ n gelten muss

Answer 1

Sei v so ein Vektor mit A^(m-1)v ≠ 0

( also auch für alle k<m A^k*v≠0)

und x₀*v + x₁*Av + x_m-1A^(m-1)*v = 0

Multipliziere A mit beiden Seiten der Gleichung:

==> A*( x0*v + x1*Av + xm-1A^(m-1)*v ) = A*0 = 0

==> x₀*Av + x₁*A^2v + .... + x_m-1*A^m*v = 0

wegen A^m*v=0 also   x0*Av + x1*A^2v + .... + xm-2*A^(m-1)*v = 0

Multipliziere wieder A mit beiden Seiten der Gleichung: ....

dann kommst du nach insgesamt m-1 Schritten auf

                x0A^(m-2)v + x1A^(m-1)  = 0  #

und mit einem weiteren Schritt auf

      x0A^(m-1)v + x1A^m = 0  also   x0A^(m-1)v = 0

        Da A^(m-1)v ≠0 also x0=0.

Das bei # eingesetzt ergibt x1A^(m-1)  = 0  also x1=0

etc. So folgt also xo=x1=x2=...=xm-1=0

also sind  die Vektoren v, Av, A2 v,...A^(m-1)v

linear unabhängig.

Das sind alles Vektoren in K^n, davon gibt es nie mehr als n

linear unabhängige;  denn jedes System von linear unabhängigen

kann man zu einer Basis ergänzen.

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe

Answer 2

(i) Zunächst: Aus A^(m-1) v <> 0 folgt A^i v <> 0 für i= 0....m-2

Nehmen wir nun an,

Summe( i=0 ..... m-1; a_i A^i v ) = 0 mit a_1, ... a_(m-1) aus K

Wir multiplizieren die Summe von links mit A, gibt

Summe( i=1 ..... m; a_i A^i v ) = 0, bzw., da A nilpotent vom Grad m,

Summe( i=1 ..... m-1; a_i A^i v ) = 0.

Wir multiplizieren die Summe von links mit A, gibt

Summe( i=2 ..... m; a_i A^i v ) = 0, bzw., da A nilpotent vom Grad m,

Summe( i=2 ..... m-1; a_i A^i v ) = 0.

Gleiches Spiel weiter so, bis wir nur noch haben: a_(m-1) A^(m-1) v = 0. Dann ist n.V. a_(m-1) = 0

Jetzt haben wir Summe( i=0 ..... m-2; a_i A^i v ) = 0 mit a_1, ... a_(m-2) aus K

Gleiches Spiel wie oben, und wir erhalten a_(m-2) = 0.

Das machen wir bis wir zuletzt a_0 = 0 erhalten.

(ii) ist trivial