Sei M eine Menge und K ein Körper. Zeige, daß {δm | m ∈ M} eine linear unabhängige Menge in V ist und...

Question

Sei M eine Menge, K ein Körper und V = Abb(M, K) der Vektorraum aller Abbildungen von M nach K. Für jedes m ∈ M definieren wir die Abbildung

δm ∈ V durch

δm(x) = 0, falls m≠x und  δm(x) =1, falls m = x

Zeigen Sie, dass {δm | m ∈ M} eine linear unabhängige Menge in V ist und

eine Basis genau dann, wenn M endlich ist.

EDIT(Lu): Korrekturen gemäss Kommentaren 1 bis 3 gemacht. 

Comments

Du meinst 

" δm(x) = 0, falls m≠x und  δm(x) =1, falls m = x  " ?

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Und es muss heißen \( \delta m \) statt \( \delta M \), richtig?

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Ja, das stimmt... 

Ich Sitz da schon ewig dran und komme nicht weiter

Answer 1

Sei Δ := {δm | m ∈ M}

Ist n ∈ M, dann ist (∑_a∈Δ\{δn}k_a·a)(n) = 0 aber δn(n) = 1 für alle k_a ∈ K.

Ist M endlich, dann ist f = (∑_m∈Mf(m)·δm) für jedes f:M→K.

Ist M unendlich, dann ist f: x↦1 ≠ ∑_a∈Nk_a·a für jede endliche Teilmenge N von M und alle k_a ∈ K.

Comments

Und damit ist alles bewiesen? Vielen lieben Dank!!!

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Es fehlt noch die Minimalität des Erzeugendensystems.

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Die vorletzte Aussage ist zudem nicht plausibel. Wie kann \( f(a) \) ausgewertet werden, wenn \( f : M \rightarrow K \) ist und \( a \in \Delta \) mit \( a : M \rightarrow K \) ist?

Ist mit \( f(a) \) der Koeffizient von \( a \) für die Darstellung von \( f \) gemeint?

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> Die vorletzte Aussage ist zudem nicht plausibel.

Danke, habe ich korrigiert.

> Es fehlt noch die Minimalität des Erzeugendensystems.

Lineare Unabhängigkeit genügt.

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Lineare Unabhängigkeit allein genügt auch nicht. In diesem Fall muss die Maximalität gezeigt werden.

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Maximalität muss nicht gezeigt werden. Es genügt, wenn gezeigt wird, dass jede Funktion als Linearkombination der vermeintlichen Basis dargestellt werden kann. Dazu ist Zeile 3 gedacht.