A ∈ K3x3 eine nilpotente Matrix, geben Sie alle möglichen Jordan-Normalformen und Minimalpolynome an

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ K^3x3 eine nilpotente Matrix. Geben Sie alle möglichen Jordan-Normalformen
von A an. Geben Sie für jedem Fall auch das Minimalpolynom an.
Folgern Sie, dass zwei nilpotente Matrizen A₁ , A₂ ∈ K^3x3 dann ähnlich sind,
wenn sie dasselbe Minimalpolynom haben.

Könnte jemand helfen?

LG Blackwolf

Comments

Meines Erachtens gibt es nur vier solcher Jordan-Normalformen:$$J_1=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\ J_2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\ J_3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!,\ J_4=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\!,$$wobei \(J_2\) und \(J_3\) durch Permutation auseinander hervorgehen.