Aufgabe:
Sei \( A:=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \) eine reelle \( 2 \times 2 \) Matrix.
(a) Zeigen Sie, dass \( A \) genau dann invertierbar ist, wenn \( a d-b c \neq 0 \) gilt.
Hinweis: Wenn \( A \) invertierbar ist, dann ist die Abbildung \( \varphi_{A}: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, \varphi_{A}(B)=A \cdot B \) injektiv.
Problem/Ansatz:
Gerade habe ich keine Ahnung wie ich da Anfangen sollte.
Ich habe noch nicht den Begriff der Determinante eingeführt aber den vom Gauß-Algorithmus. Andererseits sollte man diesen Hinweis verwenden.