Gleichheit gilt genau dann, wenn A invertierbar ist

Question

Ehhh, ich glaube ich bin auf einen Fehler in einer Aufgabe gestoßen, in der heißt es:

Zeigen Sie, dass

\(det(A \cdot A^T) \geq 0 \)

Gleichheit genau dann, wenn A invertierbar ist.

Nun, ich bin mir ziemlich sicher, dass es "Gleichheit genau dann, wenn A nicht invertierbar ist" heißen muss. Denn ist A nicht invertierbar, dann ist det(A) = 0 und somit 0 = det(A)^2 = det(A*A^T).

Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

Comments

Oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

nein, deine Vermutung ist richtig.

Answer 1

Hallo :)

Du musst diese zwei Eigenschafften von Determinanten wissen:

1. Es ist multiplikativ. D.h. : det(AB) = det(A) * det (B)

2. det(A^T) = det (A)

Und somit: det( AA^T ) = det(A) * det(A^T) = det(A)^2 ≥ 0