Bestimmen sie ob an konvergiert und geben Sie den Grenzwert an.

Question

Aufgabe:

Die Folge (an)n∈N sei durch $$an = \frac{n^3}{9^n}$$und die Folge (bn)n∈N durch $$bn =  \frac{9n^3-(n+1)^3}{9^n}$$ definiert.

(a) Konvergiert die Folge (an)n∈N? Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.
∞
(b) Konvergiert die Reihe $$ \sum \limits_{k=1}^{\infty}bk? $$Falls ja, so geben Sie den Grenzwert an

Problem/Ansatz:

Wie Bestimme ich den Grenzwert von an?

Answer 1

Wie Bestimme ich den Grenzwert von an?

Ein vorbereitender Schritt wäre, dass du dir ein Bild vom Verhalten machst.

Wie groß sind a₁₀, a₂₀ und a₁₀₀?

Answer 2

 9^n wächst viel schneller als n^3 , also geht a_n gegen 0.

Comments

Hallo mathef,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Das hab ich mir auch schon gedacht.

Jedoch muss ich das mit einer Rechnung beweisen dies gelingt mir aber nicht.

Können sie mir helfen?

Viele  Grüße

Luis 123

Answer 3

Aloha :)

Für \(n\ge4\) gilt nach dem binomischen Lehrsatz:

$$9^n=(1+8)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\cdot8^k>\binom{n}{4}\cdot8^4=\frac{n}{4}\,\frac{n-1}{3}\,\frac{n-2}{2}\,\frac{n-3}{1}\cdot8^4$$$$\phantom{9^n}\stackrel{(\ast)}{\ge}\frac{n}{4}\,\frac{n}{4}\,\frac{n-1}{3}\,\frac{n-2}{2}\cdot8^4\stackrel{(\ast)}{\ge}\frac{n}{4}\,\frac{n}{4}\,\frac{n}{4}\,\frac{n-1}{3}\cdot8^4\stackrel{(\ast)}{\ge}\frac{n}{4}\,\frac{n}{4}\,\frac{n}{4}\,\frac{n}{4}\cdot8^4=(2n)^4$$

Die Abschätzung \((\ast)\) gilt für 2 positive Zahlen \(a,b>0\), denn:$$a\ge b\implies a+ab\ge b+ab\implies a(b+1)\ge b(a+1)\implies\frac{a}{b}\ge\frac{a+1}{b+1}$$und wegen \(n\ge4\) ist garantiert, dass hier \(a\ge b\) gilt.

Damit gilt für die Folge \(a_n\) ab \(n\ge4\):

$$a_n=\frac{n^3}{9^n}<\frac{n^3}{(2n)^4}=\frac{1}{16n}\to0$$