Zeigen Sie, dass R (Äquivalenzrelation) antisymmetrisch ist, wenn R nacheindeutig ist.

Question

Aufgabe:

Sei M eine Menge und R ⊆ M^2 eine Äquivalenzrelation. Zeigen Sie, dass R antisymmetrisch ist, wenn R nacheindeutig ist.

Problem/Ansatz:

Mein bisheriger Ansatz wäre, dass es sich bei R um eine Gleichheitsrelation handeln muss, damit sie Äquivalenzrelation und nacheindeutig ist. Handelt es sich um eine Gleichheitsrelation, so wäre diese zwangsläufig auch antisymmetrisch. Nun bin ich mir nicht sicher, ob diese Annahme stimmt und bin dementsprechend ein wenig am verzweifeln.

Answer 1

R ist eine Äquivalenzrel. und nacheindeutig.

Seien nun (a,b) und (b,a) aus R.

Dann ist zu zeigen  a=b.

Seien also (a,b) und (b,a) aus R.

Da R eine Äquiv.rel. ist gilt auch (a,a) aus R

Somit (a,b) und (a,a) . Daraus folgt wegen

der Nacheindeutigkeit  b=a.   q.e.d.