Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf A ist (Menge).

Question

Aufgabe:

Auf der Menge A = {1, 2, 3, 4, 5} sei die Relation
R = {(1, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 3),(4, 4),(5, 5),(1, 4),(3, 2),(4, 1)}
gegeben.
1. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf A ist.
2. Bestimmen Sie für jedes a ∈ A die zugehörige Äquivalenzklasse.

Problem/Ansatz:

Ich weiß zwar, dass ich dafür zeigen muss, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, jedoch habe ich keine Ahnung wie ich sowas zu Blatt bringen soll.

(Mit dem zweiten Aufgabenteil habe ich mich noch nicht beschäftigt)

Answer 1

reflexiv: Für jedes x∈A muss (x,x) ∈ R sein. Dem ist so:

(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5) alle in R.

symmetrisch: Wenn (x,y)∈R, dann auch (y,x).

Für die Paare vom Typ (x,x) ist das ja klar.

Bei den anderen: (2, 3) und (3, 2)

und    (1, 4),(4, 1)

ist es auch erfüllt.

transitiv: Wenn (x,y) , (y,z) ∈R, dann auch (x,z).

Für   (x,y)  oder (y,z) vom Typ   (x,x) ist das ja klar.

Bei den anderen muss man schauen was es für Fälle gibt

(2, 3) und (3, 2)  dann auch (2,2) ∈ R ist erfüllt

(3,2) und (2,3)  dann auch (3,3) ∈ R ist erfüllt

Ähnlich bei (1, 4) und (4, 1) .

für jedes a ∈ A die zugehörige Äquivalenzklasse.

In der Klasse von a ∈ A sind alle Elemente von A, die

mit a in der Relation stehen:

Klasse von 1 ist die Menge {1,4}

     (Häufig auch als "1 mit Querstrich" geschrieben

Klasse von 2 ist die Menge {2,3}

Klasse von 3 ist die Menge {2,3}

Klasse von 4 ist die Menge {1,4}

Klasse von 5 ist die Menge {5}