Äquivalenzrelation - Zerlegung: Gezeigt soll jetzt werden, dass {[a] | a ∈ A} = A/R

Question

Bei meiner Frage geht es um eine Äquivalenzrelation. Die Fragestellung lautet:

Eine Äquivalenz auf einer Menge A ist eine Relation R ⊂ A x A, die reflexiv, symemetrisch und transitiv ist. Zwei Elemente a,b ∈ A heißen äquivalent bezüglich einer Äquivalenzrelation R, wenn (a,b) ∈ R. Jedes Element a ∈ A definiert eine Äquivalenzklasse

[a] := {b ∈ A | b ist äquivalent zu a}.
Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit A/R bezeichnet.

Gezeigt soll jetzt werden, dass

{[a] | a ∈ A} = A/R

eine Zerlegung der Menge A ist und, dass die Zuordnung R -> A/R eine bijektive Abbildung von der Menge der Äquivalenzrelation auf A auf die Menge der Zerlegung von A definiert.

Answer 1

dass {[a] | a ∈ A} = A/R eine Zerlegung der Menge A ist, sieht man ein, indem man zeigt, dass ein Element nicht zugleich in zwei Äquivalenzklassen sein kann:

Sei dazu x ∈ [a] und x ∈ [b], das heißt x ~ a und x ~ b, und somit a ~ b, das heißt [a] = [b].

Da für alle a ∈ A gilt (a, a) ∈ R, ist jedes a auch in wenigstens einer Äquivalenzklasse von A/R.

Das heißt A/R ist eine Zerlegung von A.

Die zweite Aussage scheint mir unklar definiert: Denn sei auf A = {1, 2, 3, 4} die Äquivalenzrelation R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} gegeben. Es gilt A/R = {[1], [3], [4]}. Da |A/R| = 3 und |R| = 6, kann keine bijektive Abbildung existieren von R nach A/R.

MfG

Mister