Aufgabe:
(1.) S:={(r,s) in ℝ×ℝ: 2rs>0} Überprüfe ob S in ℝ*:=ℝ\{0} eine reflexive, symmetrische oder transitive Relation ist. Ist S eine Äquivalenzrelation in ℝ*?
(2.) Prüfe, ob S eine Äquivalenzrelation in ℝ ist.
Ansatz:
(1.)
Reflexivität: rℝr
Fall 1: r ist positiv => 2r^2 >0
Fall 2: r ist negativ =>2* -r^2 > 0
=> Ist Reflexiv
Symmetrie: rℝs -> sℝr
da das Kommutativgesetz gilt
2rs>0 und 2sr>0
=> Ist Symmetrisch
Transitiv: rℝs, sℝx -> rℝx
da, wenn rℝs und sℝx funktionieren sind s und x vom Vorzeichen von r abhängig
Gedankengang ( wenn r negativ ist, muss s negativ sein um die Bedingung zu erfüllen und da s negativ ist musss dann auch x negativ sein und dann funktioniert auf rℝx und bei positiv sowieso)
=> Ist Transitiv
=> Ist eine Äquivalenzrelation
(2.) Ist genau gleich wie oben auch eine Äquivalenzrelation da die Menge S Ja gleich bleibt
Problem:
Ich bin nicht sicher ob diese Lösungen korrekt sind und ob ich das so überhaupt begründen kann.
Den Transitivität finde ich sehr unschön aber habe keine Idee wie ich das sonst machen könnte.
