Zeigen: reflexive R ist Äquivalenzrelation auf M <=> Für alle x,y,z∈M gilt:[xRy∧yRz => xRz].

Question

ich sitze seit Tagen an einer Aufgabe, doch verstehe ich nicht wie ich da ran gehen soll. Die Aufgabe lautet:

Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge M. Zeigen Sie:

R ist eine Äquivalenzrelation auf M <=> Für alle x,y,z ∈ M gilt: [x R y ∧ y R z => x R z].

Ich habe keine Probleme damit, bei einer bestimmten Relation festzustellen, ob es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, aber so abstrakt weiß ich überhaupt nicht, wie ich da ran gehen soll. Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar!

EDIT (Lu). xRz in xRy korrigiert gemäss Kommentar.

Comments

Sicher, dass du richtig abgeschrieben hast, oder heißt
es ganz am Ende   x R y ?

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 Ja stimmt x R y

Answer 1

 Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge M. Zeigen Sie:

R ist eine Äquivalenzrelation auf M <=> Für alle x,y,z ∈ M gilt: [x R z ∧ y R z => x R y].

erst mal =>

Sei R eine Ä.Rel. dann ist sie reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Seien nun x,y,z ∈ M mit    x R z ∧ y R z

dann wegen symmetrie auch      z R y

also   x R z ∧ z R y    also wegen Transitivität   x R y.

zu  <=  :

R ist ja reflexiv, musst du nur symmetrisch und transitiv nachweisen.
zu symmetrisch: seien x,y aus M mit   x R y   [dann ist y R x zu zeigen]
wegen reflexiv ist aber auch y R y
also   y R y   x R y  und damit wegen [x R z ∧ y R z => x R y].
          y R x.    also R symmetrisch
zu transitiv:
               seine x,y,z aus M mit   x R y und y R z dann ist zu zeigen  x R z
wegen der gezeigten Symmetrie ist auch z R y
also x R y und z R y   und mit der gegebenen Eigenschaft   [x R z ∧ y R z => x R y].
folgt damit x R z.