Bestimmung von Äquivalenzklassen: a) Die Menge R mit der Relation a ∼ b ⇔ ab ≥ 0.

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie ob folgende Relationen, Äquivalenzrelationen sind. Wenn ja, beschreiben Sie  ihre Äquivalenzklassen.

a) Die Menge R mit der Relation a ∼ b ⇔ ab ≥ 0.

Klar ist, dass hier eine Äquivalenzrelation vorliegt, da die Relation a ∼ b ⇔ ab ≥ 0 reflexiv, symmetrisch, sowie transitiv ist.

Das Problem ist nun, wie bilde ich die Äquivalenzklasse dazu? Ich habe nun schon viel im Internet nachgelesen, aber leider gibt es nur die trockene Theorie ohne anschauliche Beispiele. Könnte mir Jemand die Lösung hierfür erklären.

Bedanke mich wie immer im Voraus

Comments

Klar ist, dass hier eine Äquivalenzrelation vorliegt

Vielleicht ueberdenkst Du das noch mal.

---

Oh habe ich etwas übersehen?

reflexiv:  a ∼ a für alle a ... müsste doch gelten: zb -1*-1=1>0 ; 0*0=0>0 etc

Symmetrie: a ∼ b => b ∼ a auch hier würde mich kein Gegenbeispiel einfallen, wo die Bedingung ab ≥ 0 nicht erfüllt wäre.

Also muss es ja an der Transitivität liegen mmm

Obwohl mir auch hier nichts einfallen würde, denn wenn a ∼ b und b ∼ c gilt, dann müsste bei dieser Bedingung auch a ∼ c gelten.   Damit a ∼ b bzw b ∼ c gilt müssten a, b und c gleichzeitig  entweder 0 oder positiv oder negativ sein.

Wo liegt der Denkfehler?

---

Könntest du mir vielleicht einen kleinen Tipp hinsichtlich meines Fehlers geben?

---

Bestimme die Menge aller \(a\) mit \(a\sim0\). Das waere nebenbei \([0]\), falls eine Aequivalenzrelation vorliegen wuerde.

---

Ok, ich weiß gerade nicht was du mir danit sagen möchtest:()

---

Dass keine Aequivalenzrelation vorliegt, weil ~ nicht transitiv ist. Das Bestimmen von Aequivalenzklassen eruebrigt sich, es gibt keine. Klar genug ausgedrueckt?

---

Sry, aber warum sollte die Relation nicht transitiv sein?

MMn gibt es dafür kein Gegenbeispiel.

---

Es darf doch 0 werden oder sehe ich dies falsch?

---

Ach ok, ich glaube ich habe da was:

5R0,0R-5=>5R-5...was der Bedingung ab>0 wiederspricht. Oder?

---

Bonusaufgabe: Korrigiere die Definition von ~ so, dass tatsaechlich eine Aequivalenzrelation vorliegt und bestimme die Klassen.

---

Du verwirrtst mich gerade total. Erstmal ist das nun so richtig?

2. was meinst du mit korrigieren? Die Bedienung ab>=0 so verändern, damit es stimmt oder was?

Also ich wüsste da nun auf Anhieb nichts:(

Answer 1

Annahme R = Menge der reellen Zahlen.

Relation a ∼ b ⇔ ab ≥ 0

nicht transitiv

Gegenbeispiel

a = 10

b = 0

c = 3

a*b = 0, b*c = 0 aber a*c = 30 ≠ 0.