Prüfen Sie nach, ob (an)n∈N definiert durch konvergiert, und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.

Question

beine Aufgabe ist die folgende:

Prüfen Sie nach, ob (a_n)n∈N definiert durch
a₀ = 1; a₁ =1/2; und a_n+1 = (a_n*a_n-1)²; für n 1;
konvergiert, und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.

Viele Dank für die Hilfe

Answer 1

ich würd mir die folgenden Schritte überlegen:

1. Die Folge ist durch 0 und 1 beschränkt.

2. Die Folgenglieder sind für \( n \geq 1 \) kleiner als 1.

3. Die Folge ist monoton fallend.

Dies sollte ausreichen um die Konvergenz zu überprüfen.

Für den Grenzwert \( a \) falls dieser existiert muss gelten:

$$ a:= \lim \limits_{n \to \infty} a_{n+1}  = \lim \limits_{n \to \infty} a_n$$

Gruß

Comments

Hi,

erst einmal vielen Dank für dei Antwort.

die Schritte sind mir klar.

Aber wie zeige ich, das

a_n-a_n+1≥0  ist.

Da komme ich nicht weiter.

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Deswegen die Reihenfolge der Schritte.

Wenn \(0 < c < 1 \) dann kannst du \(a_n \cdot c\) abschätzen:

\(a_n \cdot c < a_n \)

Wenn \( 0 < a_n < 1\) gilt ja klar:

\( a_n^2 < a_n \)

Das müsste als Hinweis reichen.