Question

Beweisen Sie, dass die nachstehende rekursiv definierte Folge (a_n)_n∈N konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

a₁ = 4; a_n+1= 1 - (1 / 4a_n)

Comments

Steht da $$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{4 a_n}$$ oder $$a_{n+1} = 1 - \frac{1}{4} a_n$$

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steht da erste

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Was bedeutet "steht da erste"?

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einfach erste lol??

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Wie weit bist du denn bisher gekommen? Du musst induktiv die Beschränktheit und Monotonie zeigen. Dann konvergiert die Folge und du kannst den Grenzwert über eine Fixpunktgleichung finden.

Answer 1

Hier ein Beispiel, das nach genau dem gleichen Schema bewiesen wird. Tipp: Die Folge ist in diesem Fall durch 1/2 und 4 beschränkt und ist streng monoton fallend!

Text erkannt:

Beispiel 3
Man zeige, dass die durch
$a_{1}=3, \quad a_{n+1}=\frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3}, \quad n \in \mathbb{N}$
definierte Folge konvergiert und man berechne den Grenzwert
Lösung:
Wir beweisen zuerst, dass die Folge beschränkt ist: Für $n=1$ gilt $\sqrt{7}<a_{n} \leq 3$
$\begin{aligned} \sqrt{7} &<a_{n+1} & & \leq 3 \\ \sqrt{7} &<\frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3} & \leq 3 \\ 3 \sqrt{7}+\sqrt{7} a_{n} &<3 a_{n}+7 & \leq 3 a_{n}+9 \end{aligned}$
Also ist die Folge beschränkt, weiter zeigen wir, dass sie streng monoton fällt:
$\begin{aligned} a_{n+1} &<a_{n} \\ \frac{3 a_{n}+7}{a_{n}+3} &<a_{n} \\ 3 a_{n}+7 &<a_{n}^{2}+3 a_{n} \\ 7 &<a_{n}^{2} \\ \pm \sqrt{7} &<a_{n} \end{aligned}$
Also ist die Folge streng monoton fallend. Somit konvergiert die Folge in diesem Intervall gegen $a$. Für große $n$ können wir somit $a_{n}=a_{n+1}=a$ setzen:
$\begin{aligned} a &=\frac{3 a+7}{a+3} \\ a^{2}+3 a &=3 a+7 \\ a^{2} &=7 \\ a &=\pm \sqrt{7} \end{aligned}$
Da $a_{n}$ kann nur $+\sqrt{7}$ konvergieren, also ist das der Grenzwert.