Zeigen, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert + Grenzwert bestimmen. Vollst. Induktion

Question

Aufgabe:

Zeigen, dass die rekursiv definierte Folge konvergiert + Grenzwert bestimmen. Vollst. Induktion

b₁ = 0  b_n+1 = \( \frac{1}{4-3bn} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man nun Beschränktheit sowie Monotonie nach dem Kriterium für beschränkte und monotone Folgen zeigen muss. Allerdings verstehe ich die Induktionsbeweise aus der Musterlösung nicht. Und ich wäre wahrscheinlich selbst auch nicht drauf gekommen. Wie gehe ich also an so eine Aufgabe ran, was für möglichkeiten habe ich um die Monotonie zu zeigen und wie wähle ich die richtige aus? ( Induktion oder an+1/an oä.) Und wie genau funktioniert der Beweis der Beschränktheit mit der Induktion?

Answer 1

Hallo

1. Schritt die nächsten 2 bis 3 bn ausrechnen. um zu sehen oben die Folge wachsend oder fallend ist

 2. wenn steigend wie hier obere Grenze vermuten (untere ist 0) wenn man keine Idee hat den GW berechnen und als obere Grenze beweisen. dann Induktion  b_n<GW folgt b_n+1<GW dann unter Ausnutzung der Schranken die Monotonie bestimmen entweder mit a_n+1-a_n>0 oder mit a_n+1/a_n>1

Gruß lul