Rekursiv definierte Folge a_{0}:=1, a_{n+1}:= √(2 + a_{n}), vollständige Induktion, Grenzwert

Question

Aufgabe:

Es sei \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) die durch \( a_{0}=1, \quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}} \) rekursiv definierte Folge.

(a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine monotone und beschränkte Folge ist.

(b) Existiert der Grenzwert von \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} ? \) Berechnen Sie diesen gegebenenfalls.
Hinweis: Sie können ohne Begründung verwenden, dass die Wurzelfunktion stetig und monoton wachsend ist.

Ansatz:

Also nach unten hin ist sie beschränkt zur 0, da Wurzel,  und für oben muss a(n+1)=a(n), und wenn ich das richtig ausgerechnet habe, ist sie nach oben hin zur 2 bescrhänkt.Wie gehe ich nun weiter vor? Vielen Dank.

Comments

Wie gehe ich nun weiter vor?

Ob krank gewesen oder nicht: Die vollständige Induktion sollte sein Monaten oder mindestens seit Wochen bekannt sein. Wenn da steht "Beweisen Sie mit vollständiger Induktion... ", dann würde ich mal versuchen es mit vollständiger Induktion anzugehen.

Answer 1

Aloha :)

Wir zeigen zunächst durch Induktion, dass \((a_n)\) streng monoton wächst:

Verankerung bei \(n=1\):$$a_{n+1}=a_2=\sqrt{2+a_1}=\sqrt{2+1}=\sqrt3>1=a_n\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$a_{n+2}-a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n+1}}-a_{n+1}>\sqrt{2+a_n}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_{n+1}=0$$$$\Rightarrow\quad a_{n+2}>a_{n+1}\quad\checkmark$$

Nun zeigen wir durch Induktion, dass \(a_n<2\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) gilt:

Verankerung bei \(n=1\):$$a_1=1<2\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+2}=\sqrt4=2\quad\checkmark$$

Eine streng monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert. Der Grenzwert \(a\) ist:

$$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{2+a_n}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\sqrt{2+\lim\limits_{n\to\infty}a_n}$$$$a=\sqrt{2+a}$$$$a^2=2+a$$$$a^2-a-2=0$$$$(a-2)(a+1)=0$$Da \((a_n)>0\) fällt die negative Lösung weg und wir erhalten als Grenzwert:$$a=2$$

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Erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort.

Induktionsschritt n→n+1:
a(n+2)−a(n+1)=\( \sqrt{2+a(n+1)} \)- a(n+1)>\( \sqrt{2+a(n)} \)−a(n+1)=a(n+1)−(an+1)=0
⇒a(n+2)>(an+1)✓

Das hier verstehe ich noch nicht ganz, also im IA zeigen wir dass a(n+1)>=a(n) ist für Monotonie, dann muss das natürlich auch für n+1 gelten, also a(n+2)>=a(n+1)

Ich verstehe jetzt nur nicht was du hier gemacht hast a(n+2)−a(n+1)>a(n+1)−(an+1)

denn x-x ist ja sowieso gleich 0, könntest du mir das nochmal erklären? Danke

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Ok ich habe es alleine verstanden danke für deine Hilfe!