Vollständige Induktion, rekursive definierte Folge

Question

Es seien \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) fest vorgegeben mit \( \alpha^{2}+4 \beta>0 . \) Mit diesen Parametern definieren wir rekursiv die Folge\[a_{0}=0, \quad a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\alpha a_{n}+\beta a_{n-1} \quad \forall n \in \mathbb{N}\]a) Es seien \( x_{1}, x_{2} \) die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung \( x^{2}=\alpha x+\beta . \) Zeigen Sie per Vollständiger Induktion, dass dann die Formel\[a_{n}=\frac{x_{1}^{n}-x_{2}^{n}}{x_{1}-x_{2}} \quad \forall n \in \mathbb{N}_{0}\]

gilt

b) Äußern sie sich kurz zu: Gilt die Aussage in a) auch,

(i) wenn \( \alpha^{2}+4 \beta<0, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \)

(ii) wenn \( \alpha^{2}+4 \beta=0, \alpha, \beta \in \mathbb{R} ? \)

Eine kurze Begründung würde mir hier völlig ausreichen :)

c) Berechnen Sie mit der Formel aus a) die Folgenglieder \( \left(a_{n}\right) \)

(i) im Fall \( \alpha=1, \beta=1 \)

(ii) \( \operatorname{im} \operatorname{Fall} \alpha=4, \beta=7 \)

(iii) im Fall \( \alpha=0, \beta=-1 \) In (iii) formen Sie solange um / geben Sie das Endergebnis so an, dass klar wird, ob/dass die Folgenglieder reell sind.

Answer 1

Für \( n = 1 \) gilt \( a_1 = 1 \) nach Voraussetzung und \( a_1 = \frac{ x_1 - x_2 }{ x_1 - x_2 } = 1 \) falls \( x_1 - x_2 \ne 0 \). Das ist der Induktionsanfang.

Für \( n+1 \) gilt, $$ a_{n+1} = \alpha a_n + \beta a_{n-1} = \alpha \frac{ x_1^n - x_2^n }{ x_1 - x_2 } + \beta \frac{ x_1^{n-1} - x_2^{n-1} }{ x_1 - x_2 } = \frac{ x_1^{n-1} (\alpha x_1  + \beta) - x_2^{n-1} (\alpha x_2  + \beta) }{ x_1 - x_2 } = \\ \frac{ x_1^{n-1} x_1^2 - x_2^{n-1} x_2^2 } { x_1 - x_2 } = \frac{ x_1^{n+1} - x_2^{n+1} } { x_1 - x_2 } $$ und zwar wegen $$ x_{1,2}^2 = \alpha x_{1,2} + \beta  $$

Weiter gilt $$  x_{1,2} = \frac{ \alpha \pm \sqrt{ \alpha^2 + 4 \beta } }{ 2 } $$ und $$  x_1 - x_2 = \sqrt{ \alpha^2 + 4 \beta }  $$

D.h., falls \( \sqrt{ \alpha^2 + 4 \beta } = 0 \) gilt, gilt auch \( x_1 - x_2 = 0 \) und in diesem Fall entsteht eine Division durch Null und die Formel gilt nicht mehr.

bei (i) entsteht die Fibonacci Folge

(ii) kann man selber ausrechnen

und bei (iii) ergibt sich $$  \frac{i^{n+1}}{2} ( (-1)^n - 1 ) $$ Hier muss man zwischen geraden und ungeraden Zahlen \( n \in \mathbb{N} \) unterscheiden. Es ergibt sich die reelle Folge \( 0, 1, 0, -1, 0, 1 ... \)