Vollständige Induktion mit rekursive definierte Folge

Question

Aufgabe:

Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursive definierte Folge x₁ = 1 und x_k+1 = x_k + 8k für k ≥ 1 allgemein gilt:

x_n = (2n-1)² , für alle n ≥ 1.

Problem/Ansatz:

Leider komme ich garnicht voran, bzw. hab nichtmal einen Ansatz wie ich beginnen soll. Stehe komplett auf der Leitung. Hätte jemand vielleicht eine Lösung mit einer kurzen erklärung. Dass wäre super. Danke

Answer 1

1. zeige dass die Formel für x1 und x2 gilt x1=1 und x1=(2-1)^2 richtig x2 gilt x2=x1+8*1=9 und x2=(2*2-1)^2=3^2=9 stimmt alsonachster Schritt: stimmt für   x_n dann zeige dass es auch für x_n+1 gilt, indem du für x_n die Formel benutzt dann 8n addierst  und die Formel (2(n+1)-1)^2 rauskriegst.

Gruß lul

Comments

Warum sollte man explizit nachrechnen, dass die Formel für x₂ gilt?

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Danke für die schnelle Antwort. Ich hätte dass jetzt mal aufgeschriebn und die Frage ist, wäre das jetzt das ganze Beispiel also:

Text erkannt:

14) Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für die rekursiv definierte Folge \( x_{1}=1 \) und \( x_{k+1}=x_{k}+8 k \) für \( k \geq 1 \) allgemein gilt:
\( x_{n}=(2 n-1)^{2} \), für alle \( n \geq 1 \).
1.A. \( x_{1}=(2 \cdot 1-1)^{2}=(2-1)^{2}=4-4+1=1 \supseteq 1 \) J.w.A. \( x_{2}=1+8 \cdot 1=9 \geq 1 \cdot A \).
I.V.
\( x_{n}=(2 n-1)^{2} \)
|B.
\( x_{n+1}=(2(n+1)-1)^{2}=(2 n+2-1)^{2}=(2 n-1)^{2} \)

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Ich glaube dass wäre eher die Lösung oder:

Text erkannt:

I.A.
\( \begin{array}{l} x_{1+1}=(2 \cdot 1-1)^{2}+8 \cdot 1=9 \vee \quad w \cdot A . \\ x_{2}=(2 \cdot 2-1)^{2}=(4-1)^{2}=16-8+1=9 \checkmark w \cdot A . \end{array} \)
I.V.
\( x_{n}=(2 n-1)^{2} \)
| B.
\( \begin{aligned} x_{n+1} &=x_{n}+8 \cdot n \\ &=(2 n-1)^{2}+8 n=4 n^{2}-4 n+1+8 n=4_{n}^{2}+4 n+1=(2 n-1)^{2} \quad V_{n} \cdot A . \end{aligned} \)

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Du hast in der letzten Zeile einen Vorzeichenfehler gemacht.

\(\begin{aligned} x_{n+1} &=x_{n}+8 \cdot n \\ &=(2 n-1)^{2}+8 n=(4 n^{2}-4 n+1)+8 n=4 {n}^{2}+4 n+1=(2 n+1)^{2} \end{aligned} \)

Außerdem reicht es bei vollständiger Induktion nur beim Startwert (hier \(n=1\)) den Induktionsanfang zu machen. Interessanter wird es, wenn du starke Induktion machst. Dann musst du tatsächlich beim Anfang mehrere Anfangsglieder betrachten.

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Aja Danke für den Hinweis, werd ich sofort ausbessern. Und mit dem n=1 meinst du dass es gereicht hätte wenn ich x1=(2*1-1)^2 =1 hingeschrieben hätte oder was meinst du.

Aber ansonsten wäre damit jetzt der nachweiß erbracht und das beispiel somit beendet oder?

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Ja genau.

Du musst das jetzt noch ausformulieren, damit du einen vernünftigen (Induktions)-Beweis bekommst.

Verbinde also deine Rechnungen mit Worten, damit der Leser sieht, was du machst. Hier mal ein Beispiel, wie man so etwas ausformuliert: https://www.mathelounge.de/552657/vollstandige-induktion

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Ah ok d.h ich muss einfach njr mit paar wörtern immer erklären was ich da mache. Und eine frage hätte ich nach dem N(natürliche zahlen) ist ein\{0} was bedeutet das?

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Ja.

Das Symbol \ ist aus der Mengenlehre und deutet an, etwas (eine Teilmenge oder Element(e)) aus einer Menge auszuschließen. Beispiel. \(A=\{44,21,1,0\}\). Dann hat man zb

$$ A\setminus \{0\}=\{44,21,1\} \text{   Gelesen als: Die Menge A ohne die Menge \{0\},}\\\text{oder: Die Menge A ohne das Element 0}$$

$$ A\setminus \{1\}=\{44,21,0\} $$

$$ A\setminus \{0,21,44\}=\{1\} $$

$$ A\setminus A=\{\} $$

$$ A\setminus \{1900\}=\{44,21,1,0\}=A $$

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\(\text{  Gelesen als: Die Menge A ohne die Menge {0},}\\\text{oder: Die Menge A ohne das Element 0}\)

Nur eine der beiden Interpretationen ist richtig.

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Nur eine der beiden Interpretationen ist richtig.

Nur höchstens eine ...

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Klammern vergessen. Habs korrigiert.

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Gäbe es die möglichkeit, dass du mir noch bei einem beispiel hilfst?

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Wenn ja ich komm hier einfacch nicht weiter, ich muss ja irgendwie auf das ^n+2 kommen, weiß aber nicht wie. weisst du es?

Text erkannt:

12) Ist \( L_{0}=2, L_{1}=1 \) und \( L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), so gilt
\( L_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \text {. } \)
\( \begin{array}{l} L_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \\ \text { 1.A. } \\ n=0 \\ L_{0}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{0}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{0}=1+1=2 \quad L_{0}=2 \text { w.A. } \\ n=1 \\ L_{1}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{1}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{1}=\frac{1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5}}{2}=\frac{2}{2}=1 J L_{1}=1 \text { w.A. } \end{array} \)
IV.
\( \begin{array}{l} \exists n \in \mathbb{N}: \\ \operatorname{Ln}_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \\ \operatorname{Ln}_{+1}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \text { IB } n \Rightarrow n+2 \\ L_{n+2}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+2} \end{array} \)
IS.
\( L_{n+2}=\ln _{n+1}+\ln \stackrel{1 v}{=}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}= \)

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hab schon die antwort

Answer 2

Hallo :-)

Den Induktionsanfang bekommst du bestimmt hin.

Im Induktionsschritt nimmst du am besten die Rekursion und setzt dann dort die Induktionsvoraussetzung ein und formst ,,passend'' um, sodass du bei \((2n+1)^2\) herauskommst. Starte also durch

$$ x_{n+1}=x_n+8\cdot n\stackrel{(IV)}{=}...=(2n+1)^2 $$

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Danke für die Hilfe und schnelle Antwort c: