f(x) = ax² + ax + a³ Maxima in Abhängigkeit von a

Question

Aufgabe:

f(x) = ax² + ax + a³

a ≠ 0

Für welche Werte von a hat die Funktion

a) kein lokales Maximum
b) genau ein lokales Maximum
c) mehrere lokale Maxima

Problem/Ansatz:

Zu a)
Eine Funktion hat kein lokales Maximum, wenn n = ungerade

zu b)
n = gerade und fⁿ (a) < 0, dann hat f in a ein lokales Maximum

zu c)

da habe ich garkeine Ahnung

Ich habe einfach mal f abgeleitet

f'(x) = 2ax + a + 3a²

Hier müsste ich jetzt die Nullstellen berechnen, aber irgendwie check ich mal wieder garnix

Die Nullstellen in f'' einsetzen, bei f'' müsste 0 raus kommen und f³ müsste dann ≠ 0 sein, damit es kein lokales Maximum gibt

Könnte mir hier jemand helfen?

Comments

Zu a)
Eine Funktion hat kein lokales Maximum, wenn n = ungerade

Was ist n?

Answer 1

Was soll der Unfug mit "n"?

n kommt hier gar nicht vor.

Wir reden hier von einer quadratischen Funktion (mit der Variable x), deren Graf eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel sein kann. Nur in einem dieser beiden Fälle besitzt sie ein Maximum.

Comments

ich hab da wohl in meinen Unterlagen etwas mit den n-mal differenzierbaren Funktionen verwechselt, wo man anhang von fⁿ (a) ≠ 0 abliest, ob die Funktion ein lokales Maximum/Minimum oder kein Extremum hat

Answer 2

Deine Ableitung ist falsch. Da der letzte Summand kein x enthält, fällt er beim Ableiten komplett weg.

f'(x)=2ax+a

Answer 3

f(x) = a·x^2 + a·x + a^3
f(x) = a·(x^2 + x + a^2)

Für welche Werte von a hat die Funktion

a) kein lokales Maximum

für a > 0 hat die nach oben geöffnete Parabel nur ein lokales Minimum.

b) genau ein lokales Maximum

Für a < 0 hat die nach unten geöffnete Parabel immer genau ein lokales Maximum.

c) mehrere lokale Maxima

Eine Funktion vom Grad kleiner gleich 3 kann nie mehrere Maxima haben. Dazu wäre eine Funktion 4. Grades nötig.

Comments

vielen dank,

ich glaube bei a) kein lokales Maximum hast du dich vertippt oder? bei a soll es ja kein lokales Maximum haben

aber wie gehe ich jetzt vor, ich habe f(x) = ax²+ax+3a², wäre mein Ansatz so korrekt?

Ich hätte mir das jetzt wie folgt gedacht:

1. Funktion ableiten
f'(x) = 2ax + a = a ( 2x + 1)

2. Nullstellen berechnen
2x + 1 = 0 | -1
2x = -1 | :2
x = -0,5

3. Nullstellen in f'' einsetzen
f''(x) = 2a
f''(-1) = 2a

und dann hätte ich das nach den Kriterien geprüft

a) kein lokales Maximum

also muss f''(-1) = 2a > 0 sein
Dementsprechend muss a > 0 sein

Koordinate wäre dann (-1 | a-a+3a²)

b) genau ein lokales Maximum

also muss f''(-1) = 2a < 0 sein
Dementsprechend muss a < 0 sein

Koordinate wäre dann (-1 | a-a+3a²)

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ich glaube bei a) kein lokales Maximum hast du dich vertippt oder? bei a soll es ja kein lokales Maximum haben

Er hat ja auch geschrieben, dass die Funktion dann nur ein Minimum hat.