Sinnvoll ist es, die Definitionsmenge auf die 15Tage des Krankheitsverlaufs zu setzen. Sei \(x\) die Anzahl der Tage nach Ausbruch der Krankheit, so ist \(D=\{x| 0 \le x \le 15\}\). Setzt man nun für den Prozentsatz der Bevölkerung \(k(x)\), der von der Krankheit erfasst wurde, eine ganzrationale Funktion 3.Ordnung an
$$k(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1 x+a_0$$
dann benötigt man vier Informationen für die vier Koeffizienten \(a_i\) um den Verlauf zu berechnen, als da sind: am nullten und letzten Tag ist keiner krank \(k(0)=0\) und \(k(15)=0\), am 5.Tag sind 1,25% erkrankt \(k(5)=1,25\) und die Steigung am 0'ten Tag ist 0 \(k'(x)=0\). Das sind vier Bedingungen aus denen sich die vier \(a_i\) berechnen lassen.
In diesem besonderen Fall sind aber alle Nullstellen der Funktion gegeben. Nämlich \(x0_{1,2}=0\) und \(x0_3=15\), da bei \(x=0\) auf Grund der Bedingung \(k'(0)=0\) eine doppelte Nullstelle vorliegen muss. Folglich ist
$$k(x)=a_3 \cdot x^2 \cdot (x-15)$$
aus \(k(5)=1,25\) folgt dann \(a_3=-0,005\). Die weiteren Koeffizienten ergeben sich dann nach aus-multiplizieren der obigen Gleichung
$$k(x)=-0,005 x^3 + 0,075 x^2$$
zu b) Die Krankheit erreicht ihren Höhepunkt wenn \(k'=0\) ist aber \(x \ne 0\)
$$k \prime(x)=-0,015 x^2 + 0,15 x=0 \quad \Rightarrow x_H=10$$
also am 10. Tag sind \(k(x_H)=2,5\) Prozent der Bevölkerung erfasst, wie auch der Funktionsverlauf zeigt
~plot~ -0.005x^3+0.075x^2;{5|1.25};{10|2.5};[[0.5|17|-0.5|4]] ~plot~
zu c) der Krankheitsverlauf nimmt am stärksten zu, wenn die Steigung maximal ist, dazu muss die zweite Ableitung 0 werden
$$k \prime \prime(x)=-0,03 x + 0,15=0 \quad \Rightarrow x_Z=5$$
das ist am 5.Tag der Fall.
Gruß Werner
