Bestimmen Sie zu der Funktion \( f \) gegeben durch \( f(x, y)=x^{2}+2 x-2 y+3 y^{2}-2 x y+4+y^{3} \)
alle lokalen Extremstellen und geben Sie jeweils an, um welche Art von Extremum es sich dabei handelt.
Lösung Wr bestimmen zuerst alle stationären Punkte der Funkfion. Hier suchen wir alle \( (x, y) \), für die \( \nabla f(x, y)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \) gilt Die partiellen Ableitungen von \( f \) sind
Aus der Bedingung \( \nabla f(x, y) \stackrel{\perp}{=}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \) folgt
$$ 2 x+2-2 y=0 \Rightarrow x=-1+y \\ -2+6 y-2 x+3 y^{2}=0 $$Wr setzen nun die erste Gleichung in die zweite Gleichung ein und erhalten $$ 4 y+3 y^{2}=0 \quad \Leftrightarrow \quad y^{2}+\frac{4}{3} y=0 \\ \Rightarrow y_{1} \approx-1.333, \quad y_{2} \approx 0 $$Aus der Beziehung \( x=-1+y \) folgt dann \( x_{1}=-2.333, \quad x_{2}=-1 \)
Damit ergeben sich die beiden stationãren Punkte \( (-2.333,-1.333) \) und \( (-1,0) \)
Bis hierhin kann ich das ganze nachvollziehen, aber wie kommt er beim ersten Punkt auf die Zahl -8<0? und wofür denn eine Matrix? Kann mir das einer ausführlich erklären?
$$ H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}2 & -2 \\ -2 & 6+6 y\end{array}\right) $$1. Punkt: Wegen \( \operatorname{det} H_{f}(-2.333,-1.333)=-8<0 \) haben wir kein Extemum an der Stelle \( (-2.333,-1.333) \).
2. Punkt: Wegen det \( H_{f}(-1,0)=8>0 \) und \( f_{x x}=2>0 \) haben wir ein lokales Mnimum an der Stelle \( (-1,0) \).
Ergebnis \( T(-1,0) \)
